Смешанные равновесия. Игра2xn.

10. Найти оптимальную стратегию инвестирования (и рассчитать равновесие Нэша). (зачитывается одна из двух задач)

    1. (1,5 задачи)

    2. 

При решении построить на плоскости прямые(графики) мат.ожиданий выигрышей при следовании каждой чистой стратегии (когда выбирается строка) в зависимости от вероятности роста х (тогда вероятность кризиса 1-х - дополняющая до единицы величина). Здесь принято строить две вертикальные оси: одну при х=0 другую при х=1. матожидание на каждой стратегией описывается прямолинейной зависимостью от х. нас интересует только её поведение при физмческих значениях вероятностей от 0 до 1. поэтому мы подставляем точки х=0 и х=1, чтобы отметить "реперные" точки на построенных осях. очевидно, ординаты каждый раз будут совпадать с некоторыми числами матрицы, то масштаб по обеим вертикальным осям можно прикинуть заранее, так чтобы значения по вертикали в итоге целиком охватывали диапазон чисел матрицы.

Необходимо построить вернюю огибающую функций выигрыша всех стратегий, в её минимуме и будет находиться искомое равновесие Нэша. Чтобы определить вероятности требуется предпринять несколько дополнительных шагов.

Оставить (в матрице игры) только активные стратегии. Это те стратегии, пересечение которых образовало упомянутый минимум верхней огибающей. В этот момент приравняв выигрыши на соответствующих стратегиях (как функии вероятности кризиса или роста) можно найти гарантированный выигрыш. Для этого сначала находим вероятность состояния природы (рост или кризис) при которой на активных стратегиях выигрыши равны, потом подставляя результат в активные стратегии находим

На последнем этапе остаётся най

Популяционные игры. Игра ястреб-голубь.

11. (Я.-Г.)(1.5 у.з. если обе части и 1 у.з. за 1часть) дана эволюционная игра Ястреб-Голубь

,

где .

Эти показатели едины в обоих вариантах - варианты различаются по показателю W: ВариантI, вариантII.

В ответе выписать количество игроков второго и первого типов в равновесии и их выигрыш. По последнему показателю сравнить два варианта. В каком обществе жить лучше?.. - мера наказания (репрессии), - ресурс являющийся предметом конкуренции 2х членов общества, - сожаления голубя не получившего ресурс, - небольшие переговорные доп. издержки голубей. (Данилов Теория Игр) (Презентация Ястреб-Голубь).

Теория. Алгоритм решения весьма напоминает решение игры 2хn(антагонистической игры). Отличие в том, что это игра а) популяционная (в ней по сути неограниченное количество игроков) и б) это игра отнюдь не антагонистическая. В таких играх могут быть как чистые так и смешанные равновесия. В случае смешанных стратегий верна теорема об активных стратегиях - выигрыши на всех активных стратегиях в равновесии обязаны быть равны (этот факт следует из того, что в противном случае от менее выгодной стратегии откажутся сразу все игроки).

Игра перекрёсток.

12. (Перекрёсток)(3задачи)Найти коррелированное равновесие в классической игре Перекрёсток

В ответе указать область коррелированных равновесий и, в частности, угловую точку, не являющуюся ни одним из чистых равновесий.

Легенда игры: на условный перекрёсток ("на самом деле" подразумевают ситуацию раздела некоего ресурса) выезжают два игрока. ситуацию можно разрешить к обоюдной выгоде (не равновесие по Нэшу (ситуация мир-мир)), один, например, первый игрок может уклониться, от столкновения, к выгоде другого (мир-война) (как и наоборот), наконец (война-война) оба игрока могут пойти на жесткое столкновение.

Проблема в том, что как бы не договаривались игроки, они не могут обязать себя выполнить коллективное соглашение мир-мир, если кому-то выгодно (что верно) нахрапом взять ресурс.

Внешний арбитр может давать игрокам сигналы, которые также не обязательны к исполнению, непредсказуемо "по очереди" с заданной вероятностью указывая, что играть войну или мир, причем второй игрок не знает какой сигнал получил первый игрок, первый тоже не знает какой сигнал получил второй, в противном случае, например, при сигнале ми-мир каждый по-прежнему стремился бы уклониться в свою пользу.

Презентация би-матричные игры.

Решение: В отсутствии внешнего арбитра в игре имеется два чистых равновесия и одно смешанное. внешний арбитр показывая игрокам необязательные команды (мир-мир) (мир-война) и (война мир), может обеспечить их больший выигрыш при следовании данным стратегиям, чем при отклонении от них.

Напомним, что при этом второй игрок не знает какую команду получил первый и наоборот.

Обозначим вероятности каждой пары команд (война мир) (мир-мир) (мир-война) (команда война-война не участвует - это то сочетание, которого всем хотелось бы избежать), соответственно вероятностями ,,- см. матрицу. Условия предпочтения следования командам арбитра описываются линейными неравенствами в пространстве трех чисел в сумме равных 1., поэтому, ограничимся вероятностями,, они соответствуют парам война-мир и мир-война (для симметрии).