2. Представление моделей в пространстве состояний

Модели элементов системы записываются в виде обыкновенных дифференциальных уравнений. Для выходных сигналов составляются алгебраические уравнения от координат состояния. Это представление похоже на форму (4.1), но записывается относительно выходных переменных и также характерно для представления систем автоматического управления.

Пример модели, заданной в пространстве состояний в векторной форме:

, (4.2)

где – вектор координат состояния ();

– вектор выходных координат (измеряемые координаты);

– вектор управляющих координат;

, , и – матрицы системы, входа, выхода и прямой передачи соответственно; n – число переменных состояния системы, m – число входов, r – число выходов.

Как можно заметить, количество выходных (измеряемых) сигналов y может отличаться от числа координат соостояния x. Для выходных сигналов составляются алгебраические уравнения от координат состояния.

3. Представление моделей в виде передаточных функций

Модель системы строится на основе математических моделей элементов системы, задаваемых в базисе передаточных функций (ПФ). Передаточная функция системы есть отношение Лапласова изображения выходной координаты к входной и обозначается W(s)=X_вых(s)/X_вх(s).

Например:

, (4.3)

где К и Т – параметры ПФ.

Схема соединения передаточных функций, описывающих элементы системы, называется ее структурой. Структура системы строится на основе базиса элементарных блоков.

4. Преобразование пф в дифференциальные уравнения

Структурные схемы систем автоматического управления, как правило, состоят из типовых звеньев:

• интегрирующее;

• апериодическое;

• колебательное;

• дифференцирующее.

Рассмотрим эти звенья более подробно.

1. Интегрирующее звено

Интегрирующее звено представляется передаточной функцией

, (4.4)

от ПФ несложно перейти к интегральному уравнению первого порядка:

, (4.5)

которому соответствует структурная схема

Рис. 4.1 Структурная схема интегрирующего звена

2. Апериодическое звено

Апериодическое звено описывается передаточной функцией

, (4.6)

где – изображение входного и выходного сигналов, соответственно;  – постоянная времени,  – коэффициент усиления,  – оператор дифференцирования.

От ПФ апериодического звена можно перейти к дифференциальному уравнению первого порядка

, (4.7)

которому соответствует эквивалентная структурная схема

Рис. 4.2 Структурная схема апериодического звена

3. Колебательное звено

Колебательное звено описывается следующей передаточной функцией

. (4.8)

Это звено описывается дифференциальным уравнением 2-го порядка, которое равносильно системе из 2-х уравнений 1-го порядка. Преобразовываем выражение для передаточной функции звена:

. (4.9)

Система дифференциальных уравнений в форме Коши для колебательного звена имеет вид:

. (4.10)

Рис. 4.3 Эквивалентная структурная схема колебательного звена

4. Дифференцирующее звено с замедлением

Дифференцирующему звену соответствует передаточная функция идеального дифференциального звена

, (4.11)

которая определяет выходной сигнал как производную от входного сигнала

, (4.12)

где  – постоянная времени дифференцирования.

Однако на реальных физических элементах невозможно выполнить идеальное дифференцирование. При технической реализации дифференцирование выполняется приближенно, и поэтому передаточная функция реального дифференцирующего звена имеет вид

. (4.13)

Передаточная функция звена:

. (4.14)

Эквивалентная структурная схема:

Рис. 4.4 Эквивалентная структурная схема реального дифференцирующего звена

Схема включает элементарное усилительное звено с передаточной функцией K и апериодическое звено.