7. Идентификация линейных дискретных систем

Важной задачей управления сложными динамическими системами является формирование управляющих воздействий, обеспечивающих заданное поведение системы. Применение традиционных методов синтеза управляющих воздействий обусловленно трудностями, связанными с нестационарностью, нелинейностью и сложной динамикой взаимодействия с внешней средой управляемого объекта.

В этом случае актуальной становится задача применения методов идентификации параметров и состояний управляемого объекта по наблюдаемым входным и выходным сигналам. Математическое описание входных и выходных сигналов управляемого объекта принято представлять моделями линейных дискретных систем.

При моделировании процессов актуальным становится задача оценивания параметров и состояний управляемого объекта по наблюдениям за входными и выходными сигналами.

1. Авторегрессионные модели

   1. Структуры моделей управляемого объекта

Будем рассматривать непрерывную линейную систему с одним входом и одном выходом, структурная схема которой показана на рисунке.

Динамика системы описывается передаточной функцией . Выходной сигнал y(t) зависит от входного u(t), который может быть измерен, а также от аддитивного неконтролируемого возмущения v(t).

Стационарная линейная модель незашумленной системы определяется соотношением:

,

где - передаточная функция по управлению, , …, - операции сдвига назад.

При наличии аддитивной помехи, приложенной к выходу управляемого объекта, динамические свойства линейной стационарной системы (ЛСС) описываются соотношением:

,

где - сигнал помехи в момент времени t.

Во многих случаях имеются основания считать, что сигнал помехи представляет собой реакцию некоторого фильтра:

,

где - передаточная функция фильтра помехи.

Таким образом, уравнение ЛСС с учетом сигнала аддитивной помехи имеет вид:

,

где - последовательность взаимно независимых случайных величин с нулевым средним и конечной дисперсией.

В задачу идентификации входит получение оценки передаточной функции , а также спектральных характеристик возмущения. Моделью возмущения будем считать белый шум, обработанный линейным фильтром, с передаточной функцией . Определение спектральных свойств сводится к нахождению оценки .

Рассматриваемые методы идентификации ориентированы на численные методы и методы цифровой обработки сигналов. Поэтому требуют, чтобы наблюдаемые сигналы u(t) и y(t) были представлены последовательностями дискретных отсчетов, иначе говоря, таблицами экспериментальных данных.

Это обстоятельство вынуждает рассматривать искомую модель системы, как дискретную. При необходимости на основе полученного описания дискретной модели может быть создана непрерывная модель реальной системы.

Окончательно изобразим структуру искомой модели.

Здесь e_k - дискретный белый шум.

Итак, целью идентификации будем считать нахождение оценок дискретных передаточных функций и .

Полученное описание ( ) принято трактовать как множество структур моделей, из которых для заданной совокупности наблюдений необходимо выбрать наиболее предпочтительное структурное описание. Выбор конкретной структуры модели линейной динамической системы определяется характеристиками передаточных функций , и функции плотности распределения вероятности помехи .

При выборе структурного описания множества моделей, как правило, исходят из предположения о наличии желательных свойств в передаточных функциях.

Предположим, что передаточные функции и описываются соотношениями:

, ,

где ,

,

,

, полиномы числителя и знаменателя.

Множество структур, использующих подобное описание носит название моделей Бокса-Дженкинса:

, или .

Частным случаем множества структур моделей Бокса-Дженкинса является ее представление в следующем виде:

,

где - операторный полином знаменателей и .

Подобную модель принято записывать в виде:

.