5. Модели объектов управления

Рассмотрим несколько примеров математических моделей объектов и систем, в частности, модели одного из широко распространенных объектов электроавтоматики – двигателя постоянного тока с независимым возбуждением (ДПТ НВ). В дальнейшем по тексту рассмотрим последовательность получения уравнений ДПТ НВ, приведение их к форме Коши, представление уравнений в виде детализированной структурной схемы (ДСС), преобразование ДСС к модели в виде передаточной функции и её упрощения. Также рассмотрены несколько моделей электромеханических систем, в которых используется ДПТ НВ как объект управления.

Наряду с электромеханическими системами в главе приведено несколько описаний моделей движения судна. Рассмотрена модель плоскопараллельного движения судна и модель, описывающая движение судна по заданному курсу.

1. Описание математической модели дпт нв

Двигатель постоянного тока независимого возбуждения (ДПТ НВ) описывается следующей системой дифференциальных и алгебраических уравнений в абсолютных единицах:

	(1.1) (1.2) (1.3) (1.4)
Рис. 1. ДПТ НВ и его система уравнений

где

u - напряжение на якорной обмотке двигателя,

e - электродвижущая сила (ЭДС) якоря,

i - ток якоря,

Ф - поток, создаваемый обмоткой возбуждения,

M - электромагнитный момент двигателя,

M_С - момент сопротивления движению,

- скорость вращения вала двигателя,

R - активное сопротивление якорной цепи,

L - индуктивность якорной цепи,

J - суммарный момент инерции якоря и нагрузки,

- коэффициент связи между скоростью и ЭДС,

С_М - коэффициент связи между током якоря и электромагнитным моментом.

Определение области принадлежности переменных.

С точки зрения будущей модели, входными воздействиями являются напряжения якоря u и момент сопротивления движению M_С, выходными переменными - электромагнитный момент двигателя M и скорость вращения вала двигателя , а переменными состояния - переменные стоящие под знаком производной: ток якоря i и скорость вращения вала двигателя . Остальные переменные, входящие в состав уравнений (1.1) - (1.4) являются параметрами, численные значения которых, необходимо будет задавать при проведении расчетов.

Преобразуем дифференциальные уравнения (1.1) и (1.2) к явной форме Коши и выполним подстановку. Система уравнений примет вид:

(1.5)

(1.6)

(1.7)

(1.8)

Последнее уравнение есть отражение того факта, что переменная состояния является также и выходной переменной.

1. Представление модели дпт нв в виде детализированной структурной схемы

2. Представление модели дпт нв в виде передаточной функции

Преобразование детализированной структурной схемы дает промежуточный результат:

,

Где коэффициент , электрическая постоянная времени , и окончательный, при

Где коэффициент передачи двигателя , механическая постоянная времени .

3. Представление дпт нв в виде модели в пространстве состояний.

Для составления модели в пространстве состояний введем "машинные" переменные:

входные переменные: , ;

выходные переменные: , ;

переменные состояния: , .

Тогда уравнения (1.5) - (1.8) примут вид:

(1.9)

(1.10)

(1.11)

(1.12)

Перепишем систему уравнений (1.9) – (1.12) в матричной форме:

, где

, , ,

,

,

,

,