4. Основные правила построения математических моделей

Корректное и обоснованное представление требований к целевой функции системы на основании жесткого отбора интересующих исследователя характеристик системы. Любое отклонение и не выполнение этого требования приводит к ухудшению качества системы и к необоснованному завышению стоимости.

Представление системы в виде совокупности элементарных подсистем и описание их математическими зависимостями, причем наиболее полно представляется описание интересующей исследователя подсистемы.

Математический аппарат, выбранный для описания системы в целом и ее подсистем должен обеспечить требуемую адекватность модели системе и достаточную простоту модели в целом.

Предельное упрощение системы за счет исключения из нее второстепенных, мало влияющих параметров.

Результат функционирования модели не должен выходить за пределы, определяемыми предоставленными системе ресурсами.

Эффективность математических методов исследования значительно возрастает при переходе от детерминированных моделей к вероятностным.

3. Способы представления и оценки статических моделей

   1. Парная регрессия. Оценка параметров парной регрессии.

Парная регрессия - уравнение связи двух переменных у и х:

, (1)

где y - зависимая переменная (результативный признак); x - независимая, объясняющая переменная (факторный признак).

Исходные данные, как правило, представляются парами значений, x_i, y_i, i = 1..N, где N – количество пар значений.

Различают линейные и нелинейные регрессии.

Линейная регрессия:

. (2)

Нелинейные регрессии делятся на два класса:

- регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам:

- полиномы разных степеней:

, (3)

- равносторонняя гипербола:

. (4)

- регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам:

- степенная:

, (5)

- показательная:

. (6)

Построение уравнения регрессии сводится к оценке ее параметров (в приведенных выше уравнениях регрессии – параметры a и b) и получению теоретических значений по полученному уравнению регрессии.

Как правило, для оценки параметров регрессий, линейных по параметрам, используют метод наименьших квадратов (МНК). МНК позволяет получить такие оценки параметров, при которых сумма квадратов отклонений теоретических значений от фактических значений результативного признака у минимальна, т.е.

(7)

В случае линейной парной регрессии оцениваемыми параметрами являются параметры уравнения регрессии: a и b. Обозначим целевую функцию

Для нахождения параметров a и b, удовлетворяющим условию (7) возьмём частные производные от функции по a и b, приравняем их к нулю:

(8)

После преобразований имеем следующую систему, которая решается относительно a и b:

. (9)

Для решения системы и нахождения a и b можно использовать метод Гаусса:

, , ,

. (10)

1. Линеаризация нелинейных регрессий

Для нелинейных регрессий проводят процедуру линеаризации переменных.

1. Уравнение показательной зависимости

Для оценки параметров уравнения показательной зависимости y = abx, уравнение регрессии логарифмируется. Тем самым исходное уравнение приводится к виду:

lg y = lg a + x·lg b, (11)

и в этом уравнении проводится следующая замена:

, (12)

которая приводит исходное уравнение степенной регрессии к линейному: , параметры которого (A, B) оцениваются также, как и у обычного уравнения линейной регрессии.

Переход к параметрам уравнения показательной зависимости (a, b) производят по формулам:

b = 10^B, a = 10^A (13)

2. Уравнение гиперболической зависимости.

Для оценки параметров уравнения гиперболической зависимости y=a+b/x в уравнении регрессии проводится следующая замена:

, (14)

которая приводит исходное уравнение степенной регрессии к линейному:

y = a + b·z, (15)

параметры которого (a, b) оцениваются также, как и у обычного уравнения линейной регрессии.

3.Уравнение степенной зависимости.

Для оценки параметров b и a уравнения степенной зависимости y =ax^b, исходное уравнение логарифмируется. Тем самым исходное уравнение приводится к виду:

lg y = lg a + b·lg x, (16)

и в этом уравнении проводится следующая замена:

, (17)

которая приводит исходное уравнение степенной регрессии к линейному: , параметры которого (A, b) оцениваются также, как и у обычного уравнения линейной регрессии.

Переход к параметру а уравнения показательной зависимости производят по формуле:

a = 10^A. (18)