4.3. Метод точечной интерполяции

СУЩНОСТЬ МЕТОДА

При исследовании СУ часто возникают вопросы определения максимумов и минимумов каких-либо функций (затрат, прибыли, эффектов, качества, конкурентоспособности и т.п., для которых имеются оптимумы и минимумы).

Сравнительно часто встречаются такие задачи:

1) достижение заданного уровня исследуемого параметра (функ­ции) при минимуме аргумента;

2) достижение максимально возможного значения функции при заданных допустимых величинах аргумента;

3) достижение при минимуме величины аргумента максимально возможного значения функции.

Решение данных задач может предусматривать получение эмпи­рической зависимости исследуемой функции от аргумента, которую просто описать соответствующей кривой различными математиче­скими методами. Для определения оптимальной величины иссле­дуемой функции с необходимой степенью точности практически достаточно трех-четырех точек аргумента. В этом случае для описа­ния кривой 3 = ДА'л) можно воспользоваться методом точечной ин­терполяции.

ФОРМУЛЫ ДЛЯ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ МЕТОДА

Если известны три точки К_н0, К_Н1, 1_Н2И соответствующие им значения функций 3₀, 3\, 3%, то оптимальная величина К_нот при минимуме 3 методом точечной интерполяции будет определяться по формуле

1г _ у (К„-К_м0)-(3₂-З_н0)-(К_н2-К_каТ -(3] -3₀) ..

^{нопт н0} 2 -К*.-к_м)-(з₂-з₀)~(к_н2-к^Нь-ьЯ

Для более точного нахождения оптимальной величины К_новт можно воспользоваться кубической интерполяцией и наличием че­тырех узлов интерполяции (четырех точек с различными величина­ми К_н), определяемых К_но, К_н1, К_Н2, К_н3 с соответствующими им значениями функций Зо, 3\, 3₂, 3^. Тогда оптимальная величина -Кн.опт будет следующей:

^ноп_Т=ДнО+ ' * ' \ (4.3)

3 АЛ}

4

Глава 4

где Ц, =

где

\К_и1 ~^Кио1 ■\^кя1 ~^Кно)у1 ~³о

№«2 -'

_К-

''-Зо)

= • Ь\ - АЗ₂ ■ Ь₂ + А3₃ ■ Ъ₃,

А3[ = 3] - 3₀; А3₂ = 3₂ ~3₀; А3₃ = 3₃ - 3₀;

*1 ⁼ [(^н2 ~ КноУ ' (^КнЗ ~ ^но)- (^нЗ ^_ КяоТ ' {^Кп2 ~ ^но) ^Ь2 = [(^щ ~ КнО У ' {^КнЗ ^- ^нО ) ^_ (^нЗ - -^нО ? ⁴ (Кн1 ~ ^"нО ) *3 = \{Кн1 ~ ^нО ^ ' {^Кя2 ~ ^нО ) ~ (^н2 ~ ^"нО У ' {^Кв1 ~ ^КяО )

(к"_н, - Я_ио)^ • (к"_н1 - ^„о)(31 - 3₀)

(*„2 - ■ {К_н2 - К_Н0){3₂ - 3₀] = ДЗ, • 6₄ - А3₂ • Ь₅ + А3₃ ■ 6₆, (к_н3 - А"_н0)? • (к_н3 - К_н0 ) (з₃ - 3₀)

(к_н2 - к_а0У ■ (к_н3 - А"_н0)- (а"_н3 - к_н0У ■ (к_и2 - к_и0)

^ь5 ⁼[(^Л"н1 ~^КноУ '{^КвЗ -^но)-(^нЗ~К_Н0? •(■Л'нг --^"но) '■>

^ьб = [(^щ ~^кпоУ ■ {^кнЗ ~ Кцо)~ {к_и2 - ^кяоУ ■ {Кн1 ~^кно) ; |(/Г_н1 - А"_н0 )Р (к_п1 - К_н0 У (з_г - 3₀ ]| (л*_н2 - к_к0 У ■ (к_я2 - к_н0 У (з₂ - з₀)

(*нЗ -^но)³ • (*„з "^„о)²(Зз -3₀) =А3₁-Ь₇- А3₂ ■Ь_в+А3₃-Ь_д, (к_п3 - к_п0У ■ (к_я3 - А"_н0) (з₃ - 3₀)

^Ь7 ~ [(^Н2 ~ "^ноУ • (^нЗ ^_ -^но)² ~ (^нЗ - ^КяоУ ' {^Ки2 ~ ^КяО? Ь& = ^{^Кн1 - ^Кно} • {^КкЗ - ^КяоУ ~ {^Км1 ~ ^КнО? ' (^н1 - ^КнО? *9 = I (^Н1 ~ ^КноУ ' {^Кн2 - ^КноУ ~ {Кн2 ~ ^КнО? ' (^*н1 ^{_ К}шО?

Теоретические методы исследования систем управления

4

Например, при известной зависимости затрат на управленче­ский персонал (табл. 4.1) оптимальная численности персонала, рас­считанная по вышеприведенной формуле, будет равна 71 человеку.

Таблица 4.1

Пример затрат на управленческий персонал в зависимости от его чис­ленности (при наличии трех точек интерполяции)

Затраты,	Численность управленческого
1(Р руб.	персонала, человек
Зп= 10, Зг= 5, 39= 6	К^= 30, #н,= 50, К„7= 120

При решении других задач можно получать выпуклую вверх эм­пирическую кривую 3 = /(к) с точкой экстремума, определяемой максимумом определяемой величины аргумента К_нош. В этом слу­чае оптимальный показатель может быть рассчитан аналогичным или иным методом оптимизации.