- •Оглавление
- •3. Прямая линия в пространстве 22
- •4. Прямая и плоскость 25
- •1. Простейшие задачи на плоскости 26
- •I. Векторная алгебра
- •1. Определение вектора
- •2. Линейные операции над векторами и их свойства
- •3. Базис и координаты Декартов прямоугольный базис и декартова система координат
- •Декартова прямоугольная система координат
- •Проекция вектора на ось
- •4. Скалярное произведение векторов
- •Геометрические приложения скалярного произведения векторов в декартовой системе координат
- •5. Векторное произведение векторов
- •6. Смешанное произведение векторов
- •Выражение смешанного произведения в декартовых координатах
- •II. Аналитическая геометрия в пространстве
- •1. Уравнения поверхностей и линий
- •2. Плоскость в пространстве
- •Общее уравнение плоскости (поверхность первого порядка)
- •Неполные уравнения плоскостей
- •Уравнение плоскости «в отрезках»
- •Нормальное уравнение плоскости
- •Расстояние от точки до плоскости
- •Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки
- •Угол между двумя плоскостями
- •Условие параллельности и перпендикулярности плоскостей
- •Уравнение прямой, проходящей через две данные точки
- •Угол между двумя прямыми
- •Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых
- •4. Прямая и плоскость Точка пересечения прямой и плоскости
- •Уравнение пучка плоскостей, проходящих через прямую
- •III. Аналитическая геометрия на плоскости
- •2. Прямая линия на плоскости
- •Уравнение прямой в отрезках
- •Нормальное уравнение прямой
- •Окружность
- •Гипербола
- •Сопряженные гиперболы – две гиперболы, которые в одной и той же системе прямоугольных координат при одних и тех же значениях и определяются уравнениями и .
- •Парабола
- •4. Преобразования координат Параллельный перенос
- •Поворот координатных осей
- •Изменение начала координат и поворот осей
- •Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду
- •5. Линии в полярной системе координат
- •Связь полярных координат с декартовыми
- •Окружности
- •Спирали
- •Астроида
- •IV. ПоверхносТи второго порядка
- •Исследование формы поверхностей второго порядка по их каноническим уравнениям
- •Эллипсоид
- •Гиперболоиды Однополостный гиперболоид
- •Двуполостный гиперболоид
I. Векторная алгебра
1. Определение вектора
Понятие вектора возникло как математическая абстракция объектов, характеризующихся не только скалярной величиной, но и направлением, например: перемещение, скорость, напряженность электрических и магнитных полей.
Вектором называется направленный отрезок прямой, у которого один конец (точка ) называется началом вектора, а другой конец (точка ) – концом вектора.
Вектор обозначается либо значком , либо одной строчной буквой .
Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым вектором:. Нулевому вектору приписывают любое направление.
Вектор характеризуется модулем (или длиной), который равен длине отрезка : .
Вектор называется противоположным ненулевому вектору .
Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.
Два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и направление.
Точка приложения вектора может быть выбрана произвольно, векторы иногда называют свободными.
Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.
2. Линейные операции над векторами и их свойства
Линейными операциями над векторами называются сложение векторов и умножение вектора на вещественное число.
Суммой двух векторов и называется вектор, проведенный из начала вектора в конец вектора при условии, что вектор приложен к концу вектора .
Правило сложения векторов, изложенное в этом определении, обычно называют правилом треугольника.
Разностью называется вектор , такой, что .
Операция сложения векторов обладает свойствами:
-
;
-
;
-
;
-
.
Произведением вектора на вещественное число называется вектор, коллинеарный вектору , имеющий длину и имеющий направление, совпадающее с направлением вектора в случае и противоположное направлению вектора в случае . Если , то .
Геометрический смысл операции умножения вектора на число:
при умножении вектора на число вектор "растягивается в раз".
Операция умножения вектора на число обладает свойствами:
-
;
-
;
-
;
-
.
3. Базис и координаты Декартов прямоугольный базис и декартова система координат
Базисом в пространстве будем называть три некомпланарных вектора, взятые в определенном порядке.
Базис, состоящий из единичных взаимно перпендикулярных векторов (ортов), называется ортонормированным (ОНБ).
Базисом на плоскости будем называть два неколлинеарных вектора на этой плоскости, взятые в определенном порядке.
Базисом на прямой будем называть любой ненулевой вектор этой прямой.
Если – произвольный вектор какой-либо прямой, то любой вектор на этой прямой может быть записан в виде .
Если и – произвольные неколлинеарные векторы на плоскости, то любой вектор на этой плоскости может быть записан в виде .
Каждый вектор пространства может быть разложен по базису в пространстве.
Если , , – три некомпланарных вектора в пространстве, то любой вектор может быть записан в виде .
Геометрически вектор представляет собой пространственную диагональ параллелепипеда, построенного на векторах , и .
Числа называются координатами вектора в соответствующем базисе.
Теорема. Разложение вектора по базису единственно.