5. Линии в полярной системе координат

Полярные координаты определяются заданием на плоскости полюса О(0,0) и полярной оси .

Координаты точки М в полярных координатах задаются длиной радиус-вектора этой точки и углом его наклона к полярной оси, отсчитываемым против часовой стрелки.

При этом .

Связь полярных координат с декартовыми

Совместим начало декартовой системы с полюсом полярной системы координат, а ось ox с полярной осью. Связь координат точки M(x,y) и M(,):

Окружности

Построим линию а=const >0.

1) По точкам:

^(0)	0	30	45	60	90
	а	0,86 а	0,7 а	0,5 а	0

, с возрастанием угла  от 0 до /2 косинус этого угла убывает от 1 до 0, таким образом, убывает от а до 0 в точке О(0, /2), и радиус-вектор точки М описывает верхнюю половину окружности. Нижняя её половина получается при изменении  от 3/2 до 2. Этим значениям угла соответствуют положительные значения cos, возрастающие от 0 до 1, что приводит к возрастанию от 0 до а и геометрическому замыканию окружности.

Уравнение задаёт окружность с центром в точке (a/2,0) и радиусом a/2.

2) В уравнении линии перейдем к декартовым координатам:

,

- каноническое уравнение окружности с центром в точке (a/2,0) и радиусом a/2.

Постройте самостоятельно кривую , a > 0.

Спирали

Архимедова спираль: =а,.

Д ля построения архимедовой спирали нужно вычислить значения при различных значения :

и так далее.

Кривая представляет собой линию, описываемую точкой, движущейся с постоянной скоростью по лучу, вращающемуся около полюса О с постоянной скоростью : .

Гиперболическая спираль: .

Логарифмическая спираль: .

Розы

Двухлепестковые розы: .

^(0)	0	30	45	60	90
	0	0,7 а	а	0,7 а	0

График функции для :

Функция при а>0 принимает допустимые, неотрицательные значения при принимает максимальные, равные а, значения при , интервалами возрастания функции являются значения , убывания - . Аналогично строим кривую, содержащую косинус.

Четырехлепестковые розы

Трёхлепестковые розы:

Лемниската Бернулли

Лемниската Бернулли - линия, представляющая геометрическое место точек, расстояние которых от двух данных точек (фокусов) есть постоянная величина, равная квадрату половины межфокусного расстояния.

В полярных координатах

Укажем, что точка М лежит на кривой, если выполнено условие

Вершины кривой находятся в точках

Площадь каждой петли S=a².

Кардиоида

В полярных координатах

Вершина кардиоиды находится в точке А(2а,0).

Укажем, что площадь кардиоиды , а длина L=8a.

6. Параметрическое задание линий

Параметрические уравнения линий задаются в виде зависимости текущих координат x и y от некоторого параметра t. Каждому значению t соответствуют два значения: x и y. При изменении параметра t текущая точка M(x,y) описывает некоторую кривую на плоскости.

Окружность

Пусть M(x,y) - текущая точка окружности с центром в начале координат и радиусом R. В качестве параметра t выберем угол, который составляет радиус-вектор точки М с осью ox . Из треугольника ОМА:

- параметрические уравнения окружности.

Исключим из параметрических уравнений параметр t. Для этого возведём эти уравнения в квадрат и сложим их:

.

Циклоида

Циклоидой называется кривая, описываемая точкой круга, катящегося без скольжения по прямой линии.

Пусть ox - прямая, по которой катится круг радиусом а. Тогда МС=СК=а, где К - точка касания.

За параметр t примем угол поворота МС относительно СК: - угол качения (в радианах). Так как качение окружности происходит без скольжения, то ОК==at. Из рисунка видно, что

Таким образом, параметрические уравнения циклоиды

где .

При получаем первую арку циклоиды. Укажем, что длина дуги ОА₁О₁=8а, а площадь одной арки S=3a².