Декартова прямоугольная система координат

Декартова система координат в пространстве определяется заданием точки О – начала координат и базисных векторов (трех взаимно перпендикулярных векторов единичной длины).

Вектор , идущий из начала координат в точку , называется радиус-вектором точки .

Координаты радиус-вектора и координаты точки совпадают .

Если известны координаты точек начала и конца вектора, то координаты вектора .

Два вектора равны, тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты в одном и том же базисе.

Необходимым и достаточным условием коллинеарности векторов и , , является пропорциональность их соответствующих координат:

Линейные операции над векторами сводятся к линейным операциям над их координатами: , .

Проекция вектора на ось

Осью называется прямая с лежащим на ней единичным вектором (ортом), задающим положительное направление на прямой.

Проекцией вектора на ось называется направленный отрезок на оси, алгебраическое значение которого равно скалярному произведению .

Для вектора проекция на прямую равна числу .

Проекции обладают свойствами:

1) ;

2) .

Декартовы прямоугольные координаты вектора равны проекциям этого вектора на оси , , соответственно: , , ,где – углы, которые составляет вектор с координатными осями , , .

Косинусы углов (, , ) вектора с векторами базиса называются направляющими косинусами вектора .

Вектор представляет собой вектор единичной длины в направлении вектора .

4. Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением ненулевых векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

, .

Скалярное произведение обладает свойствами:

1. ;

2. ;

3. ;

4. , если ;

5. , если или (и) или .

Выражение скалярного произведения векторов в декартовых координатах

Теорема. Если два вектора и определены своими декартовыми прямоугольными координатами , , то скалярное произведение этих векторов равно сумме произведений их соответствующих координат, то есть .

Доказательство. Но , аналогично , ;

.

Геометрические приложения скалярного произведения векторов в декартовой системе координат

1. = .

2. .

3. Проекция вектора на вектор

.

4. Направляющие косинусы вектора :

, , .

5. Для направляющих косинусов справедливо соотношение

.

5. Векторное произведение векторов

В пространстве различают правые и левые тройки векторов. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов ,, приведенных к одному началу, называется правой, если из конца третьего вектора кратчайший поворот первого вектора ко второму виден совершаемым против часовой стрелки. В противном случае тройка называется левой.

правая

левая

Тройка векторов базиса считается правой.

При перестановке местами двух соседних векторов ориентация тройки меняется.

Если тройки - правые, то - левые.

При круговой (циклической) перестановке векторов ориентация тройки

не меняется.

Векторным произведением ненулевых и неколлинеарных векторов и называется вектор , удовлетворяющий следующим трем требованиям:

1) длина вектора равна произведению длин векторов и на синус угла между ними, т.е.,

2) вектор ортогонален к каждому из векторов и , т.е. перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы и .

3). Вектор направлен так, что тройка является правой.

Векторное произведение полагают равным нулю, если или (и) или они коллинеарны.

Векторное произведение обладает свойствами:

1. ;

2. ;

3. ;

4. для любого вектора .

5. , если векторы и коллинеарны.

Приведем некоторые схемы для вычисления различных векторных произведений векторов базиса :

,

.

Выражение векторного произведения векторов в декартовых координатах

Теорема. Если два вектора и заданы своими декартовыми прямоугольными координатами , , то

.

Доказательство.

.

Если записать векторное произведение в виде определителя ,

то его координаты получаются при разложении определителя по элементам первой строки.

Теорема. Модуль вектора равен площади параллелограмма, построенного на векторах и .

Доказательство.

Площадь параллелограмма (см. рис.), построенного на векторах и , равна .