- •Оглавление
- •3. Прямая линия в пространстве 22
- •4. Прямая и плоскость 25
- •1. Простейшие задачи на плоскости 26
- •I. Векторная алгебра
- •1. Определение вектора
- •2. Линейные операции над векторами и их свойства
- •3. Базис и координаты Декартов прямоугольный базис и декартова система координат
- •Декартова прямоугольная система координат
- •Проекция вектора на ось
- •4. Скалярное произведение векторов
- •Геометрические приложения скалярного произведения векторов в декартовой системе координат
- •5. Векторное произведение векторов
- •6. Смешанное произведение векторов
- •Выражение смешанного произведения в декартовых координатах
- •II. Аналитическая геометрия в пространстве
- •1. Уравнения поверхностей и линий
- •2. Плоскость в пространстве
- •Общее уравнение плоскости (поверхность первого порядка)
- •Неполные уравнения плоскостей
- •Уравнение плоскости «в отрезках»
- •Нормальное уравнение плоскости
- •Расстояние от точки до плоскости
- •Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки
- •Угол между двумя плоскостями
- •Условие параллельности и перпендикулярности плоскостей
- •Уравнение прямой, проходящей через две данные точки
- •Угол между двумя прямыми
- •Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых
- •4. Прямая и плоскость Точка пересечения прямой и плоскости
- •Уравнение пучка плоскостей, проходящих через прямую
- •III. Аналитическая геометрия на плоскости
- •2. Прямая линия на плоскости
- •Уравнение прямой в отрезках
- •Нормальное уравнение прямой
- •Окружность
- •Гипербола
- •Сопряженные гиперболы – две гиперболы, которые в одной и той же системе прямоугольных координат при одних и тех же значениях и определяются уравнениями и .
- •Парабола
- •4. Преобразования координат Параллельный перенос
- •Поворот координатных осей
- •Изменение начала координат и поворот осей
- •Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду
- •5. Линии в полярной системе координат
- •Связь полярных координат с декартовыми
- •Окружности
- •Спирали
- •Астроида
- •IV. ПоверхносТи второго порядка
- •Исследование формы поверхностей второго порядка по их каноническим уравнениям
- •Эллипсоид
- •Гиперболоиды Однополостный гиперболоид
- •Двуполостный гиперболоид
Уравнение прямой, проходящей через две данные точки
Пусть даны две точки В качестве направляющего вектора прямой выберем вектор , и уравнение прямой, проходящей через две данные точки примет вид:
ПРИМЕР: Составьте уравнение прямой, проходящей через две точки
.
Угол между двумя прямыми
Если и направляющие векторы прямых и , то положительное значение косинуса угла между этими векторами
позволяет найти угол между прямыми.
Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых
Прямые будут параллельны, если их направляющие векторы параллельны, то есть
Прямые будут перпендикулярны, если их направляющие векторы перпендикулярны, то есть .
ПРИМЕР: Определите угол между двумя прямыми:
Находим направляющие векторы данных прямых. Нормальные векторы плоскостей, задающих первую прямую, , и вторую прямую,
Направляющие векторы первой и второй прямых:
,
,
4. Прямая и плоскость Точка пересечения прямой и плоскости
Даны уравнения прямой и плоскости:
.
Координаты точки пересечения прямой и плоскости должны одновременно удовлетворять этим уравнениям.
1) Выражая две переменных через третью из уравнений прямой и подставляя их в уравнение плоскости, получим уравнение для одной переменной и найдем точку пересечения прямой и плоскости.
2) Можно перейти к параметрическим уравнениям прямой:
,
тогда подстановка переменных в уравнение плоскости P, позволяет найти значение параметра для координат точки пересечения прямой и плоскости.
3) Если прямая задана общими уравнениями, точка пересечения может быть найдена как решение системы из трех уравнений.
Уравнение пучка плоскостей, проходящих через прямую
Пусть прямая задана линией пересечения двух плоскостей:
Возьмем любые отличные от нуля числа и составим равенство
Это равенство определяет плоскость, которая проходит через ту же прямую, так как каждая тройка чисел (x, y, z) удовлетворяет этим двум равенствам. Совокупность всех плоскостей, проходящих через одну и ту же прямую, называется пучком плоскостей. Если положить , то уравнение
определяет все плоскости пучка, кроме второй из плоскостей, задающих прямую.
Угол между прямой и плоскостью
Угол между прямой и плоскостью,
( – угол между вектором нормали к плоскости и направляющим вектором прямой):
.
Условия параллельности и перпендикулярности
прямой и
плоскости
Прямая L перпендикулярна плоскости P, если направляющий вектор прямой коллинеарен нормальному вектору плоскости, то есть
.
Прямая L параллельна плоскости P, если направляющий вектор прямой перпендикулярен нормальному вектору плоскости, то есть
III. Аналитическая геометрия на плоскости
1. Простейшие задачи на плоскости
Расстояние между двумя точками
.
Деление отрезка в данном отношении
если .
Координаты точки М находятся по формулам :
Координаты середины отрезка С получаются при М1М=ММ2, :
Площадь треугольника
М1(x1,y1), M2(x2,y2), M3(x3,y3).