- •Оглавление
- •3. Прямая линия в пространстве 22
- •4. Прямая и плоскость 25
- •1. Простейшие задачи на плоскости 26
- •I. Векторная алгебра
- •1. Определение вектора
- •2. Линейные операции над векторами и их свойства
- •3. Базис и координаты Декартов прямоугольный базис и декартова система координат
- •Декартова прямоугольная система координат
- •Проекция вектора на ось
- •4. Скалярное произведение векторов
- •Геометрические приложения скалярного произведения векторов в декартовой системе координат
- •5. Векторное произведение векторов
- •6. Смешанное произведение векторов
- •Выражение смешанного произведения в декартовых координатах
- •II. Аналитическая геометрия в пространстве
- •1. Уравнения поверхностей и линий
- •2. Плоскость в пространстве
- •Общее уравнение плоскости (поверхность первого порядка)
- •Неполные уравнения плоскостей
- •Уравнение плоскости «в отрезках»
- •Нормальное уравнение плоскости
- •Расстояние от точки до плоскости
- •Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки
- •Угол между двумя плоскостями
- •Условие параллельности и перпендикулярности плоскостей
- •Уравнение прямой, проходящей через две данные точки
- •Угол между двумя прямыми
- •Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых
- •4. Прямая и плоскость Точка пересечения прямой и плоскости
- •Уравнение пучка плоскостей, проходящих через прямую
- •III. Аналитическая геометрия на плоскости
- •2. Прямая линия на плоскости
- •Уравнение прямой в отрезках
- •Нормальное уравнение прямой
- •Окружность
- •Гипербола
- •Сопряженные гиперболы – две гиперболы, которые в одной и той же системе прямоугольных координат при одних и тех же значениях и определяются уравнениями и .
- •Парабола
- •4. Преобразования координат Параллельный перенос
- •Поворот координатных осей
- •Изменение начала координат и поворот осей
- •Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду
- •5. Линии в полярной системе координат
- •Связь полярных координат с декартовыми
- •Окружности
- •Спирали
- •Астроида
- •IV. ПоверхносТи второго порядка
- •Исследование формы поверхностей второго порядка по их каноническим уравнениям
- •Эллипсоид
- •Гиперболоиды Однополостный гиперболоид
- •Двуполостный гиперболоид
Астроида
Астроидой называется кривая, которую описывает точка окружности радиуса R/4, когда окружность катится без скольжения внутри окружности радиуса R.
Параметрические уравнения астроиды
где
В декартовых координатах уравнение астроиды
x2/3+y2/3=R2/3.
Длина астроиды L=6R, а площадь, ограниченная астроидой S=3R2/8.
IV. ПоверхносТи второго порядка
Алгебраической поверхностью второго порядка называется поверхность, уравнение которой в декартовой системе координат имеет вид:
Ax2+By2+Cz2+2Dxy+2Exz+2Fyz+gx+Hy+Iz+K=0,
где не все коэффициенты при членах второго порядка равны одновременно нулю (в противном случае получаем алгебраическую поверхность первого порядка, т.е. плоскость).
В зависимости от значений коэффициентов возможны случаи, когда уравнение определяет вырожденную поверхность (пустое множество, точку, плоскость, пару плоскостей).
Например, уравнение не имеет решений и задает пустое множество, уравнение задает точку с координатами (0,0,0), уравнение задает плоскость х = 1, уравнение задает пару плоскостей х = у и х = у.
Исследование формы поверхностей второго порядка по их каноническим уравнениям
Основным методом исследования формы поверхности по ее уравнению является метод сечений, когда о форме поверхности судят по форме кривых, которые получаются при пересечении данной поверхности плоскостями
Эллипсоид
Эллипсоидом называется поверхность второго порядка с каноническим уравнением
.
Рассмотрим сечение эллипсоида плоскостью . Линия пересечения эллипсоида и плоскости задается системой уравнений
Г – эллипс с полуосями а и b в плоскости .
Рассмотрим сечение эллипсоида плоскостью . Линия пересечения задается системой уравнений
где Таким образом, если , то Г – эллипс с полуосями в плоскости Если , Г – точка с координатами Если , система решений не имеет, т.е. исследуемая поверхность не имеет общих точек с рассматриваемой плоскостью.
Далее, так как переменная z содержится в уравнении во второй степени, плоскость является плоскостью симметрии эллипсоида. Отсюда следует, что достаточно исследовать форму поверхности и построить ее часть в области , достроив затем остальную часть путем зеркального отражения найденного фрагмента поверхности относительно координатной плоскости ОXY.
Аналогично рассматриваются сечения поверхности плоскостями
Эллипсоид - замкнутая овальная поверхность, имеющая три плоскости симметрии:
Если , каноническое уравнение эллипсоида принимает вид . При этом линиями пересечения эллипсоида с плоскостями , где –с < h < c, являются окружности, центры которых лежат на оси OZ и, следовательно, в этом случае эллипсоид является фигурой вращения с осью OZ.
Если , каноническое уравнение принимает вид
и задает сферу с центром в начале координат и радиусом R.
Гиперболоиды Однополостный гиперболоид
Однополостным гиперболоидом называется поверхность второго порядка с каноническим уравнением
.
Линия пересечения гиперболоида и плоскости задается системой уравнений
и определяет эллипс с полуосями а и b.
В сечении плоскостью получаем эллипс:
с большими, чем в предыдущем случае полуосями
Сечение поверхности плоскостью дает уравнение линии пересечения в виде:
и представляет гиперболу, пересекающую ось OY.
Сечение плоскостью задает гиперболу, пересекающую ось OX.
Однополостный гиперболоид - поверхность, имеющая вид расширяющейся трубки с тремя плоскостями симметрии