- •Оглавление
- •3. Прямая линия в пространстве 22
- •4. Прямая и плоскость 25
- •1. Простейшие задачи на плоскости 26
- •I. Векторная алгебра
- •1. Определение вектора
- •2. Линейные операции над векторами и их свойства
- •3. Базис и координаты Декартов прямоугольный базис и декартова система координат
- •Декартова прямоугольная система координат
- •Проекция вектора на ось
- •4. Скалярное произведение векторов
- •Геометрические приложения скалярного произведения векторов в декартовой системе координат
- •5. Векторное произведение векторов
- •6. Смешанное произведение векторов
- •Выражение смешанного произведения в декартовых координатах
- •II. Аналитическая геометрия в пространстве
- •1. Уравнения поверхностей и линий
- •2. Плоскость в пространстве
- •Общее уравнение плоскости (поверхность первого порядка)
- •Неполные уравнения плоскостей
- •Уравнение плоскости «в отрезках»
- •Нормальное уравнение плоскости
- •Расстояние от точки до плоскости
- •Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки
- •Угол между двумя плоскостями
- •Условие параллельности и перпендикулярности плоскостей
- •Уравнение прямой, проходящей через две данные точки
- •Угол между двумя прямыми
- •Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых
- •4. Прямая и плоскость Точка пересечения прямой и плоскости
- •Уравнение пучка плоскостей, проходящих через прямую
- •III. Аналитическая геометрия на плоскости
- •2. Прямая линия на плоскости
- •Уравнение прямой в отрезках
- •Нормальное уравнение прямой
- •Окружность
- •Гипербола
- •Сопряженные гиперболы – две гиперболы, которые в одной и той же системе прямоугольных координат при одних и тех же значениях и определяются уравнениями и .
- •Парабола
- •4. Преобразования координат Параллельный перенос
- •Поворот координатных осей
- •Изменение начала координат и поворот осей
- •Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду
- •5. Линии в полярной системе координат
- •Связь полярных координат с декартовыми
- •Окружности
- •Спирали
- •Астроида
- •IV. ПоверхносТи второго порядка
- •Исследование формы поверхностей второго порядка по их каноническим уравнениям
- •Эллипсоид
- •Гиперболоиды Однополостный гиперболоид
- •Двуполостный гиперболоид
Расстояние от точки до плоскости
Отклонением точки от плоскости называется число, равное длине перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость, взятое со знаком «-» или «+» в зависимости от того, по одну или по разные стороны от плоскости находится начало координат и точка.
П
то есть, чтобы найти отклонение какой-либо точки от плоскости, нужно в левую часть нормального уравнения этой плоскости подставить координаты точки.
Если плоскость задана общим уравнением, то отклонение точки от плоскости вычисляется по формуле
. Отклонение положительно, если точка и начало координат лежат по разные стороны от плоскости, и отрицательно, если по одну сторону.
Расстояние от точки до плоскости вычисляется по формуле:
ПРИМЕР: Найдите расстояние точки M(4, 3, 1) от плоскости .
откуда
Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки
Пусть даны три точки . Введем текущую точку плоскости и рассмотрим три вектора: , , .
Точка лежит на плоскости в том и только в том случае, если эти векторы компланарны. Условие компланарности трех векторов определяет плоскость, проходящую через три данные точки:
Угол между двумя плоскостями
Пусть плоскости заданы уравнениями:
Нормальные векторы этих плоскостей задаются координатами:
.
Один из двугранных углов между плоскостями равен острому углу между их нормальными векторами и определяется из равенства
ПРИМЕР: Найдите угол между плоскостями
Нормальные векторы плоскостей ,.
.
Условие параллельности и перпендикулярности плоскостей
Плоскости параллельны, если их нормальные векторы коллинеарны, то есть их координаты пропорциональны:
Плоскости перпендикулярны, если их нормальные векторы перпендикулярны, : .
ПРИМЕР: Составьте уравнение плоскости, которая проходит через точку
M(7, -2, 3) параллельно плоскости y – 3z + 5 = 0.
Нормальные векторы данной и искомой плоскостей и . Из условия параллельности плоскостей:
, получим A = 0, B = 1, C = - 3 и уравнение искомой плоскости
.
ПРИМЕР: Составьте уравнение плоскости, которая проходит через начало координат перпендикулярно к двум плоскостям: x – y + 2z – 5 = 0,
2x + y – 3z + 1 = 0.
Нормальные векторы данных плоскостей: .
РЕШЕНИЕ 1:
Нормальный вектор искомой плоскости перпендикулярен к нормальным векторам данных плоскостей, т.е.
и уравнение искомой плоскости: x + 7y + 3z = 0.
РЕШЕНИЕ 2:
Нормальный вектор искомой плоскости перпендикулярен к нормальным векторам данных плоскостей. Из условия перпендикулярности можно найти координаты вектора из системы:
,
3. Прямая линия в пространстве
Общие уравнения прямой
Прямая линия в общем виде определяется как линия пересечения двух плоскостей, то есть системой уравнений:
Канонические уравнения прямой
Любой ненулевой вектор , лежащий на данной прямой или параллельный ей, называется направляющим вектором прямой.
Пусть - текущая точка прямой, а Вектор коллинеарен вектору , следовательно, их координаты пропорциональны.
Канонические уравнения прямой, проходящей через точку и имеющей направляющий вектор , имеют вид:
Параметрические уравнения прямой
Обозначим отношения, входящие в канонические уравнения прямой, через t:
.
Отсюда получаем параметрические уравнения прямой в виде:
Уравнение прямой в виде проекций на координатные плоскости
ПРИМЕР: Прямая задана общими уравнениями: (*)
Составьте канонические и параметрические уравнения прямой. Напишите ее уравнение в виде проекций на координатные плоскости.
Найдем координаты точки, лежащей на прямой. Положим, а две другие координаты найдем из системы (*):
В качестве направляющего вектора прямой выберем вектор, являющийся векторным произведением нормальных векторов плоскостей, линией пересечения которых будет искомая прямая.
,
Запишем канонические уравнения прямой: . Параметрические уравнения прямой имеют вид:
Уравнение прямой в проекциях: