- •Часть I Введение
- •I. Матрицы.
- •1. Основные понятия.
- •2. Действия над матрицами
- •2. Определители
- •1. Основные понятия
- •2. Свойства определителей (необходимы для вычисления определителей):
- •3. Невырожденные матрицы
- •2. Ранг матрицы
- •II. Система линейных уравнений.
- •1. Основные понятия
- •2. Решение системы линейных уравнений
- •3. Решение не вырожденных линейных систем.
- •4. Метод Гаусса
- •5. Система однородных линейных уравнений
- •6.Модель Леонтьева многоотраслевой экономики
- •III. Элементы векторной алгебры
- •1. Основные понятия
- •2. Операции над векторами
- •3. Векторное пространство и п – мерный вектор
- •3.1. Линейная зависимость векторов
- •Размерность и базис линейного пространства.
- •3.3. Разложение вектора в ортогональном базисе.
- •3.4.Переход к новому базису.
- •3.5. Линейные операторы.
- •3.6. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.
- •2. Симметричный оператор.
- •3. Ортогональность собственных векторов.
- •3.7.Квадратичные формы.
- •IV Аналитическая геометрия на плоскости.
- •1.Система координат. Основные понятия.
- •Линия на плоскости(основные понятия)
- •2. Уравнение прямой на плоскости
- •1) Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •2) Общее уравнение прямой X
- •7) Нормальное уравнение прямой
- •8) Угол между двумя прямыми
- •9) Точка пересечения прямых
- •10) Расстояние от точки до прямой
- •3.Линии второго порядка на плоскости.
- •1) Окружность
- •2) Эллипс
- •3) Гипербола.
- •Исследование формы гиперболы по ее уравнению
- •Асимптоты гиперболы
- •4) Парабола
- •Исследование формы параболы по ее уравнению
- •5) Общее уравнение линий второго порядка
- •V Аналитическая геометрия в пространстве
- •1. Уравнение поверхности и линии в пространстве
- •2.Поверхности второго порядка
- •VI. Основы математического анализа
- •1. Множества. Действительные числа
- •6. Предел функции
- •1) Предел функции в точке
- •2) Предел функции при X→∞.
- •3) Бесконечно большая функция (б.Б.Ф.).
- •4) Бесконечно малые функции.
- •6) Признаки существования пределов.
- •7) Первый замечательный предел.
- •8. Комплексные числа
- •Часть II Функции нескольких переменных
- •Функция двух переменных
- •Предел функции
- •Непрерывность функции двух переменных
- •Производные и дифференциалы функции нескольких переменных
- •Частные производные высших порядков
- •Дифференцируемость и полный дифференциал функции
- •Дифференциалы высших порядков
- •Производная сложной функции. Полная производная
- •8.Инвариантность формы полного дифференциала
- •Дифференцирование неявной функции
- •Производная по направлению
- •Градиент
- •Экстремум функции двух переменных
- •Необходимые и достаточные условия экстремума
- •II. Неопределенный интеграл
- •Понятие неопределенного интеграла
- •2. Свойства неопределенного интеграла
- •3. Таблица основных неопределенных интегралов
- •4. Основные методы интегрирования
- •5. Интегрирование рациональных функций.
- •6. Интегрирование тригонометрических функций
- •7. Интегрирование иррациональных функций
- •III. Определенный интеграл
- •Определение определенного интеграла
- •Геометрический смысл определенного интеграла
- •3) Работа переменной силы
- •Формулы Ньютона-Лейбница
- •Основные свойства определенного интеграла
- •Вычисление определенного интеграла
- •Несобственные интегралы
- •7. Применение определенных интегралов для расчета геометрических и физических величин различного рода
- •7.1. Вычисление площадей плоских фигур
- •7.2 Вычисление длины дуги плоской кривой
- •7.3 Вычисление объема тела
- •8. Приближенное вычисление определенного интеграла
- •8.1. Формулы прямоугольников
- •8.2. Формула трапеций
- •8.3. Формула парабол (Симпсона)
- •4. Кратные интегралы
- •4.1. Двойной интеграл. Основные понятия
- •4.2. Геометрический смысл двойного интеграла
- •4.3. Основные свойства двойного интеграла
- •4.4.Вычисление двойного интеграла
- •4.5. Приложения двойного интеграла
- •Статические моменты и центр тяжести плоской фигуры
- •4.6. Тройной интеграл. Основные понятия
- •4.7. Вычисление тройного интеграла.
- •4.8. Приложения тройного интеграла
- •V. Числовые ряды
- •5.1. Основные понятия
- •5.2. Необходимый признак сходимости числового ряда
- •5.3. Достаточные признаки сходимости знакопостоянных рядов
- •5.4. Признак Даламбера
- •5.5. Радикальный признак Коши
- •5.6. Интегральный признак Коши. Обобщенный гармонический ряд
- •5.7. Знакочередующиеся и знакопеременные ряды Признак Лейбница
- •5.8. Абсолютная и условная сходимость числовых рядов
- •Степенные ряды
- •1 Функциональные ряды
- •1.1 Основные понятия
- •2. Некоторые приложения степенных рядов
- •2.1. Приближенное вычисление значений функций
- •2.2. Приближенное вычисление определенных интегралов
- •VII Ряды Фурье
- •7.1. Основные понятия
- •7.2. Тригонометрический ряд Фурье
- •7.3 Разложение в ряд Фурье 2π-периодических функций. Теорема Дирихле
- •7.4. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций
- •7.5. Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода
- •VIII. Дифференциальные уравнения (д.У.)
- •8.1. Общие сведения на основании понятия о д.У.
- •8.2. Дифференциальное уравнение первого порядка
- •8.3.Дифференциальные уравнения высших порядков
- •1.Решение путем понижения порядка уравнения.
- •2.Линейные дифференциальные уравнения высших порядков.
- •8.4. Решение ду второго порядка с постоянными коэффициентами.
- •1.Решение лоду второго порядка с постоянными коэффициентами.
- •2. Решение лоду n –го порядка с постоянными коэффициентами.
- •Линейные неоднородные дифференциальные уравнения (лнду)
- •1.Структура общего решения лнду второго порядка.
- •2.Метод вариации произвольных постоянных.
- •3.Решение лнду второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.
- •4.Решение лнду n- го порядка с постоянными коэффициентами и правой специальной частью.
- •Системы дифференциальных уравнений
- •Решение нормальных систем.
- •2.Системы линейных ду с постоянными коэффициентами.
1.Система координат. Основные понятия.
Под системой координат на плоскости понимают способ, позволяющий численно описать положение точки плоскости. Одной из таких систем является прямоугольная (декартова) система координат. Она задается двумя взаимно перпендикулярными прямыми - осями, на каждой из которых выбрано направление и задан масштабный единичный отрезок. Единицу масштаба обычно берут одинаковую для обеих осей. Эти оси называются осями координат, а точка их пересечения – О- началом координат. Одна ось- ось абсцисс (Оx), вторая- ординат (Оy).
На рисунках ось абсцисс, как правило, располагается горизонтально и слева направо, ось ординат вертикально и снизу вверх. Единичные векторы осей обозначают i и j (|i|=|j|=1,i перпенд. j ).
Рассмотрим произвольную точку М на плоскости Оxy. Вектор называется радиусом вектора. Координатами точки М называются координаты радиуса вектора ОМ. Если ОМ = (x ,y), то координаты т.М(x,y). Другой важной системой координат является полярная система координат.
Полярная система координат задается точкой О называемой полюсом, лучом Оp называемом полярной осью и единичным вектором того же направления, что и луч Оp.
Возьмем точку М не совпадающую с О. Положение т.М определяется двумя числами ее расстоянием r от полюса О и углом образованным отрезком ОМ с полярной осью (отсчет углов ведется в направлении противоположном движению часовой стрелки. Числа r и φ называются полярными координатами т.М (r, ), r – полярный радиус, - полярный угол.
Установим связь между декартовыми и полярными координатами. Для этого совместим полюс с системой координат Оxy, а полярную ось с + полуосью Ox. Тогда т.М в прямоугольной системе М( x,y),а в полярном M(r,φ).тогда из рисунка 1
y M(x,y)
r
или y
Рис.1
-
Линия на плоскости(основные понятия)
Уравнение линии(кривой) на плоскости Oxy называют такое уравнение F(x,y)=0 с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты x и y каждой точки линии и не удовлетворяют координаты любой точки не лежащей на этой линии. Если точка M(x,y) передвигается по линии, то ее координаты изменяясь, удовлетворяют уравнению этой линии.
Пример: лежат ли точки А(-2,1) и В(1,1) на линии 2x+y+3=0.
Решение. Подставляя в уравнение вместо x и y координаты точек А и В получим в первом тождество во втором нет. Следовательно т. А лежит на линии, т.В- нет.
Уравнение линии на плоскости можно задать при помощи двух уравнений:
Где x и y- координаты т.М(x,y),лежащей на данной линии, а t-переменная называемая параметром. Параметр t определяет положение точки (x,y) на плоскости. Если параметр t меняется, то точка на плоскости перемещается, описывая данную линию. Такое уравнение называется параметрическим уравнением линии. Для перехода от параметрического вида к обычному достаточно из уравнений (1) исключить t. Каким-либо образом линию на плоскости можно задать векторным уравнением , где t – скалярный переменный параметр. Каждому t0 соответствует определенный вектор r0=r(t0). При изменении параметра t конец вектора r=r(t) опишет заданную линию.
Векторное уравнение и параметрическое уравнение имеют механический смысл. Если точка перемещается на плоскости, то указанные уравнения называются уравнениями движения, а линия- траекторией движения, параметр t при этом– время.
В аналитической геометрии на плоскости, вообще говоря, возникают две задачи:
1) зная геометрические свойства кривой, найти ее уравнение
2)зная уравнение кривой изучить ее форму и свойства.