- •Часть I Введение
- •I. Матрицы.
- •1. Основные понятия.
- •2. Действия над матрицами
- •2. Определители
- •1. Основные понятия
- •2. Свойства определителей (необходимы для вычисления определителей):
- •3. Невырожденные матрицы
- •2. Ранг матрицы
- •II. Система линейных уравнений.
- •1. Основные понятия
- •2. Решение системы линейных уравнений
- •3. Решение не вырожденных линейных систем.
- •4. Метод Гаусса
- •5. Система однородных линейных уравнений
- •6.Модель Леонтьева многоотраслевой экономики
- •III. Элементы векторной алгебры
- •1. Основные понятия
- •2. Операции над векторами
- •3. Векторное пространство и п – мерный вектор
- •3.1. Линейная зависимость векторов
- •Размерность и базис линейного пространства.
- •3.3. Разложение вектора в ортогональном базисе.
- •3.4.Переход к новому базису.
- •3.5. Линейные операторы.
- •3.6. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.
- •2. Симметричный оператор.
- •3. Ортогональность собственных векторов.
- •3.7.Квадратичные формы.
- •IV Аналитическая геометрия на плоскости.
- •1.Система координат. Основные понятия.
- •Линия на плоскости(основные понятия)
- •2. Уравнение прямой на плоскости
- •1) Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •2) Общее уравнение прямой X
- •7) Нормальное уравнение прямой
- •8) Угол между двумя прямыми
- •9) Точка пересечения прямых
- •10) Расстояние от точки до прямой
- •3.Линии второго порядка на плоскости.
- •1) Окружность
- •2) Эллипс
- •3) Гипербола.
- •Исследование формы гиперболы по ее уравнению
- •Асимптоты гиперболы
- •4) Парабола
- •Исследование формы параболы по ее уравнению
- •5) Общее уравнение линий второго порядка
- •V Аналитическая геометрия в пространстве
- •1. Уравнение поверхности и линии в пространстве
- •2.Поверхности второго порядка
- •VI. Основы математического анализа
- •1. Множества. Действительные числа
- •6. Предел функции
- •1) Предел функции в точке
- •2) Предел функции при X→∞.
- •3) Бесконечно большая функция (б.Б.Ф.).
- •4) Бесконечно малые функции.
- •6) Признаки существования пределов.
- •7) Первый замечательный предел.
- •8. Комплексные числа
- •Часть II Функции нескольких переменных
- •Функция двух переменных
- •Предел функции
- •Непрерывность функции двух переменных
- •Производные и дифференциалы функции нескольких переменных
- •Частные производные высших порядков
- •Дифференцируемость и полный дифференциал функции
- •Дифференциалы высших порядков
- •Производная сложной функции. Полная производная
- •8.Инвариантность формы полного дифференциала
- •Дифференцирование неявной функции
- •Производная по направлению
- •Градиент
- •Экстремум функции двух переменных
- •Необходимые и достаточные условия экстремума
- •II. Неопределенный интеграл
- •Понятие неопределенного интеграла
- •2. Свойства неопределенного интеграла
- •3. Таблица основных неопределенных интегралов
- •4. Основные методы интегрирования
- •5. Интегрирование рациональных функций.
- •6. Интегрирование тригонометрических функций
- •7. Интегрирование иррациональных функций
- •III. Определенный интеграл
- •Определение определенного интеграла
- •Геометрический смысл определенного интеграла
- •3) Работа переменной силы
- •Формулы Ньютона-Лейбница
- •Основные свойства определенного интеграла
- •Вычисление определенного интеграла
- •Несобственные интегралы
- •7. Применение определенных интегралов для расчета геометрических и физических величин различного рода
- •7.1. Вычисление площадей плоских фигур
- •7.2 Вычисление длины дуги плоской кривой
- •7.3 Вычисление объема тела
- •8. Приближенное вычисление определенного интеграла
- •8.1. Формулы прямоугольников
- •8.2. Формула трапеций
- •8.3. Формула парабол (Симпсона)
- •4. Кратные интегралы
- •4.1. Двойной интеграл. Основные понятия
- •4.2. Геометрический смысл двойного интеграла
- •4.3. Основные свойства двойного интеграла
- •4.4.Вычисление двойного интеграла
- •4.5. Приложения двойного интеграла
- •Статические моменты и центр тяжести плоской фигуры
- •4.6. Тройной интеграл. Основные понятия
- •4.7. Вычисление тройного интеграла.
- •4.8. Приложения тройного интеграла
- •V. Числовые ряды
- •5.1. Основные понятия
- •5.2. Необходимый признак сходимости числового ряда
- •5.3. Достаточные признаки сходимости знакопостоянных рядов
- •5.4. Признак Даламбера
- •5.5. Радикальный признак Коши
- •5.6. Интегральный признак Коши. Обобщенный гармонический ряд
- •5.7. Знакочередующиеся и знакопеременные ряды Признак Лейбница
- •5.8. Абсолютная и условная сходимость числовых рядов
- •Степенные ряды
- •1 Функциональные ряды
- •1.1 Основные понятия
- •2. Некоторые приложения степенных рядов
- •2.1. Приближенное вычисление значений функций
- •2.2. Приближенное вычисление определенных интегралов
- •VII Ряды Фурье
- •7.1. Основные понятия
- •7.2. Тригонометрический ряд Фурье
- •7.3 Разложение в ряд Фурье 2π-периодических функций. Теорема Дирихле
- •7.4. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций
- •7.5. Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода
- •VIII. Дифференциальные уравнения (д.У.)
- •8.1. Общие сведения на основании понятия о д.У.
- •8.2. Дифференциальное уравнение первого порядка
- •8.3.Дифференциальные уравнения высших порядков
- •1.Решение путем понижения порядка уравнения.
- •2.Линейные дифференциальные уравнения высших порядков.
- •8.4. Решение ду второго порядка с постоянными коэффициентами.
- •1.Решение лоду второго порядка с постоянными коэффициентами.
- •2. Решение лоду n –го порядка с постоянными коэффициентами.
- •Линейные неоднородные дифференциальные уравнения (лнду)
- •1.Структура общего решения лнду второго порядка.
- •2.Метод вариации произвольных постоянных.
- •3.Решение лнду второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.
- •4.Решение лнду n- го порядка с постоянными коэффициентами и правой специальной частью.
- •Системы дифференциальных уравнений
- •Решение нормальных систем.
- •2.Системы линейных ду с постоянными коэффициентами.
4.8. Приложения тройного интеграла
1) Объем тела
Объем тела V выражается формулой .
2) Масса тела
Масса тела при заданной плотности вычисляется с помощью интеграла (тройного) .
3)Статические моменты
Моменты , , тела относительно координатных плоскостей OXY, OXZ, OYZ вычисляются по формулам , и .
-
Центр тяжести
Координаты центра тяжести тела , , .
V. Числовые ряды
5.1. Основные понятия
Числовым рядом называются выражения вида (1), где действительные или комплексные числа, которые называются членами ряда, общий член ряда. Этот ряд считается заданным, если известен общий член ряда , выраженный как функция его номера . Сумма первых членов ряда называется - частичной суммой ряда и обозначается , т.е. .
Рассмотрим частичные суммы , , . Если существует конечный предел последовательности частичных сумм ряда (1), то этот предел называется суммой ряда и говорят, что ряд сходится. Записывают так . Если не существует или , то ряд называется расходящимся. Такой ряд суммы не имеет.
Рассмотрим несколько свойств рядов.
Свойство 1. Если ряд (1) сходится и его сумма равна , то ряд (2), где - произвольное число также сходится и его сумма равна . Если же ряд (1) расходится, то и ряд (2) расходится.
Свойство 2. если сходится ряд (1) и сходится ряд , а их суммы равны и соответственно, то сходятся и ряды , причем сумма каждого равна соответственно .
Заметим, что сумма (разность) двух расходящихся рядов может быть как сходящимися, так и расходящимися рядами. И из свойства 2 вытекает, что сумма (разность) сходящегося и расходящегося рядов есть ряд расходящийся.
Свойство 3. если к ряду (1) прибавить (или отбросить) конечное число членов, то полученный ряд и ряд (1) сходятся или расходятся одновременно.
Из этого свойства также следует, что если ряд (1) сходится, то его остаток стремится к нулю при , т.е. .
5.2. Необходимый признак сходимости числового ряда
Нахождение -й частичной суммы и ее предела для произвольного ряда во многих случаях является задачей весьма непростой. Поэтому для выяснения сходимости ряда устанавливают специальные признаки сходимости. Первым из них является необходимый признак сходимости.
Теорема. Если ряд (1) сходится, то его общий член стремится к нулю, т.е.
Пусть ряд расходится и , тогда и . Учитывая, что при , получаем . ч.т.д.
Следствие (достаточное условие расходимости ряда). Если или этот предел не существует, то ряд расходится.
Пример: исследовать сходимость ряда ; , т.е. ряд расходится. Теорема даст необходимое условие сходимости ряда, не достаточное (из условия не следует, что ряд сходится). Это означает, что существуют расходящиеся ряды для которых . В качестве примера можно рассмотреть так называемый гармонический ряд.
Очевидно, что , но ряд расходится. (Доказывать не будем).
5.3. Достаточные признаки сходимости знакопостоянных рядов
Рассмотрим некоторые из достаточных признаков сходимости знакоположительных рядов, т.е. рядов с .
Признаки сравнения рядов. Сходимость или расходимость ряда часто устанавливается путем сравнения его с другим (эталонным) рядом, о котором известно сходится он или нет. В основе такого сравнения лежат следующие теоремы.
Теорема 1. пусть даны два знакоположительных ряда и . Если для всех выполняется неравенство , то из сходимости ряда следует сходимость ряда , а из расходимости ряда следует расходимость ряда .
Доказательство:
Из неравенства следует (1). Пусть ряд сходится и его сумма равна , тогда . Члены этого ряда положительны, поэтому и, следовательно, с учетом неравенства (1) .таким образом последовательность монотонно возрастает и ограничена сверху числом . По признаку существования предела последовательности имеет предел , т.е. этот ряд сходится. Если ряд расходится, то, так как члены ряда неотрицательны, то в этом случае . Тогда с учетом соотношения (1) получим, что , т.е. и ряд расходится.
Теорема.2. (предельный признак сравнения). Пусть даны два знакоположительных ряда и . Если существует конечный, отличный от 0 предел , то ряды и сходятся и расходятся одновременно. (Без доказательств).