- •Часть I Введение
- •I. Матрицы.
- •1. Основные понятия.
- •2. Действия над матрицами
- •2. Определители
- •1. Основные понятия
- •2. Свойства определителей (необходимы для вычисления определителей):
- •3. Невырожденные матрицы
- •2. Ранг матрицы
- •II. Система линейных уравнений.
- •1. Основные понятия
- •2. Решение системы линейных уравнений
- •3. Решение не вырожденных линейных систем.
- •4. Метод Гаусса
- •5. Система однородных линейных уравнений
- •6.Модель Леонтьева многоотраслевой экономики
- •III. Элементы векторной алгебры
- •1. Основные понятия
- •2. Операции над векторами
- •3. Векторное пространство и п – мерный вектор
- •3.1. Линейная зависимость векторов
- •Размерность и базис линейного пространства.
- •3.3. Разложение вектора в ортогональном базисе.
- •3.4.Переход к новому базису.
- •3.5. Линейные операторы.
- •3.6. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.
- •2. Симметричный оператор.
- •3. Ортогональность собственных векторов.
- •3.7.Квадратичные формы.
- •IV Аналитическая геометрия на плоскости.
- •1.Система координат. Основные понятия.
- •Линия на плоскости(основные понятия)
- •2. Уравнение прямой на плоскости
- •1) Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •2) Общее уравнение прямой X
- •7) Нормальное уравнение прямой
- •8) Угол между двумя прямыми
- •9) Точка пересечения прямых
- •10) Расстояние от точки до прямой
- •3.Линии второго порядка на плоскости.
- •1) Окружность
- •2) Эллипс
- •3) Гипербола.
- •Исследование формы гиперболы по ее уравнению
- •Асимптоты гиперболы
- •4) Парабола
- •Исследование формы параболы по ее уравнению
- •5) Общее уравнение линий второго порядка
- •V Аналитическая геометрия в пространстве
- •1. Уравнение поверхности и линии в пространстве
- •2.Поверхности второго порядка
- •VI. Основы математического анализа
- •1. Множества. Действительные числа
- •6. Предел функции
- •1) Предел функции в точке
- •2) Предел функции при X→∞.
- •3) Бесконечно большая функция (б.Б.Ф.).
- •4) Бесконечно малые функции.
- •6) Признаки существования пределов.
- •7) Первый замечательный предел.
- •8. Комплексные числа
- •Часть II Функции нескольких переменных
- •Функция двух переменных
- •Предел функции
- •Непрерывность функции двух переменных
- •Производные и дифференциалы функции нескольких переменных
- •Частные производные высших порядков
- •Дифференцируемость и полный дифференциал функции
- •Дифференциалы высших порядков
- •Производная сложной функции. Полная производная
- •8.Инвариантность формы полного дифференциала
- •Дифференцирование неявной функции
- •Производная по направлению
- •Градиент
- •Экстремум функции двух переменных
- •Необходимые и достаточные условия экстремума
- •II. Неопределенный интеграл
- •Понятие неопределенного интеграла
- •2. Свойства неопределенного интеграла
- •3. Таблица основных неопределенных интегралов
- •4. Основные методы интегрирования
- •5. Интегрирование рациональных функций.
- •6. Интегрирование тригонометрических функций
- •7. Интегрирование иррациональных функций
- •III. Определенный интеграл
- •Определение определенного интеграла
- •Геометрический смысл определенного интеграла
- •3) Работа переменной силы
- •Формулы Ньютона-Лейбница
- •Основные свойства определенного интеграла
- •Вычисление определенного интеграла
- •Несобственные интегралы
- •7. Применение определенных интегралов для расчета геометрических и физических величин различного рода
- •7.1. Вычисление площадей плоских фигур
- •7.2 Вычисление длины дуги плоской кривой
- •7.3 Вычисление объема тела
- •8. Приближенное вычисление определенного интеграла
- •8.1. Формулы прямоугольников
- •8.2. Формула трапеций
- •8.3. Формула парабол (Симпсона)
- •4. Кратные интегралы
- •4.1. Двойной интеграл. Основные понятия
- •4.2. Геометрический смысл двойного интеграла
- •4.3. Основные свойства двойного интеграла
- •4.4.Вычисление двойного интеграла
- •4.5. Приложения двойного интеграла
- •Статические моменты и центр тяжести плоской фигуры
- •4.6. Тройной интеграл. Основные понятия
- •4.7. Вычисление тройного интеграла.
- •4.8. Приложения тройного интеграла
- •V. Числовые ряды
- •5.1. Основные понятия
- •5.2. Необходимый признак сходимости числового ряда
- •5.3. Достаточные признаки сходимости знакопостоянных рядов
- •5.4. Признак Даламбера
- •5.5. Радикальный признак Коши
- •5.6. Интегральный признак Коши. Обобщенный гармонический ряд
- •5.7. Знакочередующиеся и знакопеременные ряды Признак Лейбница
- •5.8. Абсолютная и условная сходимость числовых рядов
- •Степенные ряды
- •1 Функциональные ряды
- •1.1 Основные понятия
- •2. Некоторые приложения степенных рядов
- •2.1. Приближенное вычисление значений функций
- •2.2. Приближенное вычисление определенных интегралов
- •VII Ряды Фурье
- •7.1. Основные понятия
- •7.2. Тригонометрический ряд Фурье
- •7.3 Разложение в ряд Фурье 2π-периодических функций. Теорема Дирихле
- •7.4. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций
- •7.5. Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода
- •VIII. Дифференциальные уравнения (д.У.)
- •8.1. Общие сведения на основании понятия о д.У.
- •8.2. Дифференциальное уравнение первого порядка
- •8.3.Дифференциальные уравнения высших порядков
- •1.Решение путем понижения порядка уравнения.
- •2.Линейные дифференциальные уравнения высших порядков.
- •8.4. Решение ду второго порядка с постоянными коэффициентами.
- •1.Решение лоду второго порядка с постоянными коэффициентами.
- •2. Решение лоду n –го порядка с постоянными коэффициентами.
- •Линейные неоднородные дифференциальные уравнения (лнду)
- •1.Структура общего решения лнду второго порядка.
- •2.Метод вариации произвольных постоянных.
- •3.Решение лнду второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.
- •4.Решение лнду n- го порядка с постоянными коэффициентами и правой специальной частью.
- •Системы дифференциальных уравнений
- •Решение нормальных систем.
- •2.Системы линейных ду с постоянными коэффициентами.
-
Размерность и базис линейного пространства.
Размерностью линейного пространства называется величина равная наибольшему числу имеющемуся в нем линейно независимых векторов. Например, на прямой существует один линейно независимый вектор, а любые два вектора – линейно зависимы. Следовательно, прямая представляет одномерное пространство - R1. На плоскости существуют два линейно независимых вектора, а любые три – линейно зависимы. Следовательно плоскость является двухмерным пространством R2. В пространстве существует три линейно независимых вектора. Поэтому размерность пространства равна трем – R3.
В линейном пространстве размерности n-Rn должны существовать n независимых векторов , а любые n+1 векторов должны быть линейно зависимы. Выберем в этом пространстве еще один вектор , тогда совокупность векторов , - линейно зависима, так как их число равно n+1>n. Поэтому найдется такой набор чисел λ1,λ2,…λn, что . При этом λ≠0 т.к. в противном случае вектора - линейно зависимы. Отсюда вектор может быть представлен в виде линейной комбинации векторов . . Предположим, теперь, что ; ; , тогда (1). Докажем теперь единственность такого разложения методом отпротивного. Пусть существует другое разложение вектора по векторам т.е. . Тогда или, но по условию линейно независимы, поэтому для выполнения равенства необходимо чтобы ; ; . Следовательно мы доказали, что любой вектор может быть, и притом единственный образом, представлен в виде линейной комбинации линейно независимых векторов (). Совокупность таких векторов и называется базисом n-мерного линейного пространства, а числа () – координаты вектора в этом базисе. Число этих векторов равно рангу системы. Так в R1любой вектор . На плоскости R2 , где и - неколлинеарные вектора этой плоскости. И, наконец, в пространстве , где , и - три некомпланарных вектора пространства.
Разложение (1) можно более коротко записать в виде или просто - в соответствии с правилом получившем название «соглашение о суммировании» - предложенном А.Эйнштейном. Индекс k называется индексом суммирования.
Следует отметить, что при заданном базисе векторы пространств R1, R2, R3- определяются своими координатами, т.е. эти пространства могут быть рассмотрены как частные виды пространства Rn при n=1,2,3.
3.3. Разложение вектора в ортогональном базисе.
Рассмотрим базис пространства Rn, в котором каждый вектор ортогонален остальным векторам базиса. ; - по условию ортогональности при i≠j, ,j=(1,2,…n).
Ортогональные базисы удобны потому, что координаты разложения произвольного вектора определяются очень просто без трудоемких вычислений .
Действительно, разложим произвольный вектор в ортогональном базисе. Составим разложение этого вектора с неизвестными пока координатами в данном базисе:
(1)
умножим обе части этого равенства, представляющие собой вектора, на вектор .
В силу свойств скалярного произведения векторов, получим:
Однако, в силу взаимной ортогональности векторов базиса, все скалярные произведения векторов базиса, за исключением первого, равны нулю, т.е. коэффициент x1 будет определятся по формуле
Умножая поочередно (1) на другие базисные векторы получим общую формулу для коэффициентов разложения вектора .
;
Частным случаем ортогонального базиса является случай, когда все векторы имеют единичную длину ||=1 ; в таком случае базис называют нормированным и координаты разложения имеют наиболее простой вид:
i=1,2,….n