- •Часть I Введение
- •I. Матрицы.
- •1. Основные понятия.
- •2. Действия над матрицами
- •2. Определители
- •1. Основные понятия
- •2. Свойства определителей (необходимы для вычисления определителей):
- •3. Невырожденные матрицы
- •2. Ранг матрицы
- •II. Система линейных уравнений.
- •1. Основные понятия
- •2. Решение системы линейных уравнений
- •3. Решение не вырожденных линейных систем.
- •4. Метод Гаусса
- •5. Система однородных линейных уравнений
- •6.Модель Леонтьева многоотраслевой экономики
- •III. Элементы векторной алгебры
- •1. Основные понятия
- •2. Операции над векторами
- •3. Векторное пространство и п – мерный вектор
- •3.1. Линейная зависимость векторов
- •Размерность и базис линейного пространства.
- •3.3. Разложение вектора в ортогональном базисе.
- •3.4.Переход к новому базису.
- •3.5. Линейные операторы.
- •3.6. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.
- •2. Симметричный оператор.
- •3. Ортогональность собственных векторов.
- •3.7.Квадратичные формы.
- •IV Аналитическая геометрия на плоскости.
- •1.Система координат. Основные понятия.
- •Линия на плоскости(основные понятия)
- •2. Уравнение прямой на плоскости
- •1) Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •2) Общее уравнение прямой X
- •7) Нормальное уравнение прямой
- •8) Угол между двумя прямыми
- •9) Точка пересечения прямых
- •10) Расстояние от точки до прямой
- •3.Линии второго порядка на плоскости.
- •1) Окружность
- •2) Эллипс
- •3) Гипербола.
- •Исследование формы гиперболы по ее уравнению
- •Асимптоты гиперболы
- •4) Парабола
- •Исследование формы параболы по ее уравнению
- •5) Общее уравнение линий второго порядка
- •V Аналитическая геометрия в пространстве
- •1. Уравнение поверхности и линии в пространстве
- •2.Поверхности второго порядка
- •VI. Основы математического анализа
- •1. Множества. Действительные числа
- •6. Предел функции
- •1) Предел функции в точке
- •2) Предел функции при X→∞.
- •3) Бесконечно большая функция (б.Б.Ф.).
- •4) Бесконечно малые функции.
- •6) Признаки существования пределов.
- •7) Первый замечательный предел.
- •8. Комплексные числа
- •Часть II Функции нескольких переменных
- •Функция двух переменных
- •Предел функции
- •Непрерывность функции двух переменных
- •Производные и дифференциалы функции нескольких переменных
- •Частные производные высших порядков
- •Дифференцируемость и полный дифференциал функции
- •Дифференциалы высших порядков
- •Производная сложной функции. Полная производная
- •8.Инвариантность формы полного дифференциала
- •Дифференцирование неявной функции
- •Производная по направлению
- •Градиент
- •Экстремум функции двух переменных
- •Необходимые и достаточные условия экстремума
- •II. Неопределенный интеграл
- •Понятие неопределенного интеграла
- •2. Свойства неопределенного интеграла
- •3. Таблица основных неопределенных интегралов
- •4. Основные методы интегрирования
- •5. Интегрирование рациональных функций.
- •6. Интегрирование тригонометрических функций
- •7. Интегрирование иррациональных функций
- •III. Определенный интеграл
- •Определение определенного интеграла
- •Геометрический смысл определенного интеграла
- •3) Работа переменной силы
- •Формулы Ньютона-Лейбница
- •Основные свойства определенного интеграла
- •Вычисление определенного интеграла
- •Несобственные интегралы
- •7. Применение определенных интегралов для расчета геометрических и физических величин различного рода
- •7.1. Вычисление площадей плоских фигур
- •7.2 Вычисление длины дуги плоской кривой
- •7.3 Вычисление объема тела
- •8. Приближенное вычисление определенного интеграла
- •8.1. Формулы прямоугольников
- •8.2. Формула трапеций
- •8.3. Формула парабол (Симпсона)
- •4. Кратные интегралы
- •4.1. Двойной интеграл. Основные понятия
- •4.2. Геометрический смысл двойного интеграла
- •4.3. Основные свойства двойного интеграла
- •4.4.Вычисление двойного интеграла
- •4.5. Приложения двойного интеграла
- •Статические моменты и центр тяжести плоской фигуры
- •4.6. Тройной интеграл. Основные понятия
- •4.7. Вычисление тройного интеграла.
- •4.8. Приложения тройного интеграла
- •V. Числовые ряды
- •5.1. Основные понятия
- •5.2. Необходимый признак сходимости числового ряда
- •5.3. Достаточные признаки сходимости знакопостоянных рядов
- •5.4. Признак Даламбера
- •5.5. Радикальный признак Коши
- •5.6. Интегральный признак Коши. Обобщенный гармонический ряд
- •5.7. Знакочередующиеся и знакопеременные ряды Признак Лейбница
- •5.8. Абсолютная и условная сходимость числовых рядов
- •Степенные ряды
- •1 Функциональные ряды
- •1.1 Основные понятия
- •2. Некоторые приложения степенных рядов
- •2.1. Приближенное вычисление значений функций
- •2.2. Приближенное вычисление определенных интегралов
- •VII Ряды Фурье
- •7.1. Основные понятия
- •7.2. Тригонометрический ряд Фурье
- •7.3 Разложение в ряд Фурье 2π-периодических функций. Теорема Дирихле
- •7.4. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций
- •7.5. Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода
- •VIII. Дифференциальные уравнения (д.У.)
- •8.1. Общие сведения на основании понятия о д.У.
- •8.2. Дифференциальное уравнение первого порядка
- •8.3.Дифференциальные уравнения высших порядков
- •1.Решение путем понижения порядка уравнения.
- •2.Линейные дифференциальные уравнения высших порядков.
- •8.4. Решение ду второго порядка с постоянными коэффициентами.
- •1.Решение лоду второго порядка с постоянными коэффициентами.
- •2. Решение лоду n –го порядка с постоянными коэффициентами.
- •Линейные неоднородные дифференциальные уравнения (лнду)
- •1.Структура общего решения лнду второго порядка.
- •2.Метод вариации произвольных постоянных.
- •3.Решение лнду второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.
- •4.Решение лнду n- го порядка с постоянными коэффициентами и правой специальной частью.
- •Системы дифференциальных уравнений
- •Решение нормальных систем.
- •2.Системы линейных ду с постоянными коэффициентами.
2. Действия над матрицами
а) Сложение
Операции сложения проводятся только для матриц одинаковых размеров. Суммой двух матриц Аm×n = (aij) и Bm×n = (bij) называется матрица Cm×n = (cij) такая, что cij = aij + bij (i=1…m, j=1…n).
Пример:
+=
Аналогично производится и вычитание матриц.
б) Умножение на число
Произведение матрицы Аmn=( aij ) на число К называется матрица Bm×n=(bij) такая, что bij=k× aij (i=1…m, j=1…n).
Пример:
А=, к=2; А·К=
Матрица – А = (- 1)А называется противоположной матрице А.
Операции сложения и умножения матрицы на число обладают обычным набором арифметических свойств:
10.
20.
30.
40.
50.
60.
70.
80.
Здесь А, В, С- матрицы, а α, β –числа.
в) Элементарные преобразования матриц
Элементарными преобразованиями матриц являются:
-
Перестановка двух параллельных рядов матриц
-
Умножение всех элементов матрицы на число отличное от нуля
-
Прибавление ко всем элементам ряда матрицы соответствующих элементов параллельного ряда умноженных на одно и тоже число
Две матрицы называют эквивалентными если одна из них получается из другой с помощью элементарных преобразований, записывается А~В.
При помощи элементарных преобразований любую матрицу можно привести к матрице у которой в начале главной диагонали стоят подряд несколько единиц, а все остальные элементы равны нулю. Такую матрицу называют канонической. Например:
Пример: Привести к каноническому виду А=
г) Произведение матриц
Умножение двух матриц А и В возможно только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй (в этом случае матрица А называется согласованной с В). В этом случае произведение матрицы Аm×n=(aij) на Bn×p=(bjk) называется матрица Cm×p=(cik) такая, что cik =ai1b1k+ai2b2k+…+ainbnk , ( i=1…m, k=1…p).
Т.е. элемент i строки и k-го столбца матрицы С, равен сумме произведений элементов i-й строки А на соответствующие элементы k-го столбца В.
Пример: =
Для умножения матриц справедливы еще четыре арифметические операции:
1.) 2.)
3.) 4.)
Для операции транспортирования верны свойства:
1.) (А+В)Т = АТ + ВТ 2.) ()Т =
2. Определители
1. Основные понятия
При решении систем уравнений, о которых мы будем говорить позже, необходимо ввести понятие определителя – числа сопоставляемого с квадратной матрицей А. Обозначается определитель так - |A|, ∆ или det A. Сопоставление должно происходить следующим образом:
а. Матрица порядка n=1, A = (1), det A = 1
б. n=2 A= detA== 11 22- 12 21.
в.n=3 A=;
detA==.
При вычислении определителей третьего порядка удобно пользоваться правилом треугольников (Саррюса).
=
2. Свойства определителей (необходимы для вычисления определителей):
-
Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами и наоборот.
=:
=
В дальнейшем строки и столбцы будем называть просто рядами.
-
При перестановке двух параллельных рядов определитель меняет знак.
-
Определитель, имеющий два одинаковых ряда равен нулю.
-
Общий множитель элементов, какого – то ряда определителя можно вынести за знак определителя.
Из свойств 3) и 4) следует, что если все элементы некоторого ряда пропорциональны соответствующим элементам параллельного ряда, то такой определитель равен нулю.
Пример:
==K·0=0
-
Если элементы какого либо ряда определителя представляют собой суммы двух слагаемых, то определитель может быть разложен на сумму двух соответствующих определителей.
Пример:
=+
-
Определитель не изменится если к элементам одного ряда прибавить соответствующие элементы параллельного ряда умноженные на любое число.
Пример:
==
Используя 3),4) и 5) получим ∆=
=+k=∆+=∆
-
Теорема Лапласа: (Разложение определителя по элементам некоторого ряда). Определитель равен сумме произведений элементов некоторого ряда на соответствующие им алгебраические дополнения. Для того чтобы понять, что такое алгебраическое дополнение необходимо ввести понятие минора. Минором некоторого элемента aij определителя n –го порядка называется определитель n-1-го порядка полученный из исходного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится данный элемент, обозначается mij.
Так если: ∆=, то m11=; m32=
Алгебраическим дополнением элемента aij определителя называется его минор взятый со знаком «+» если сумма i+j – четное число, и со знаком «-» если сумма нечетная. Обозначается Аij
Aij =(-1)i+jmij, так A11=+m11, A32=-m32
Теперь вернемся к свойству 7) согласно определения для определителя∆ 3-го порядка
∆==
Доказательство
-a12+a13=
=∆
Последнее свойство используется для вычисления определителей высокого порядка.
-
Сумма произведений элементов, какого либо ряда определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельного ряда равно 0.
Пример: a11A21+a12A22+a13A23=0.