8.3.Дифференциальные уравнения высших порядков

ДУ порядка выше первого называются ДУ высших порядков. Так ДУ второго порядка в общем случае записывается в виде следующего соотношения

или, если это уравнение можно разрешить относительно старшей производной

(8)

В дальнейшем мы будем, в основном, рассматривать уравнения типа (8).Решением такого уравнения называется всякая функция , которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Общим решением такого ДУ называется функция

,

где независящие от постоянные удовлетворяющие условиям:

1) является решением ДУ для каждого фиксированного значения

2) каковым бы ни были начальные условия , существуют единственные значения постоянных и такие, что функция является решением уравнения (8) и удовлетворяет начальным условиям.

Всякое решение уравнения (8) полученное из общего решения при конкретных значениях постоянных называется частным решением.

Решения ДУ (8) записанные в виде называются общим и частным интегралом соответственно.

Как и в случае уравнения первого порядка, нахождение решения (8) удовлетворяющего заданным начальным условиям называется задачей Коши.

Теорема 2. Если в уравнении (8) функция и ее частные производные и непрерывны в некоторой области Д изменения переменных и ,

то для всякой точки существует единственное решение уравнения (8) удовлетворяющее начальным условиям.

Аналогичные соображения и понятия можно сформулировать и для ДУ n-го порядка, которое в общем виде можно записать так:

или (9)

если его удается разрешить относительно .

Общим решением ДУ n-го порядка будет являться функция вида содержащей независящие от x постоянные. Начальные условия для ДУ (9) записываются так:

, ,

Решение ДУ (9) получающееся из общего решения при конкретных значениях постоянных называется частным решением. Решить ДУ n-го порядка означает, что найдено его общее или частное решение в зависимости от заданных начальных условий.

Сама задача нахождения решения ДУ n-го порядка гораздо сложнее, чем первого. Поэтому рассмотрим лишь решение отдельных видов ДУ высших порядков.

1.Решение путем понижения порядка уравнения.

Суть этого метода состоит в том, что с помощью замены переменной (подстановки) данное ДУ сводится к уравнению порядок которого ниже.

Рассмотрим три вида уравнений решенных таким способом.

1)

Порядок этого уравнения можно легко понизить введя такую, что , тогда и после подстановки получим ,

решив его, найдем и тогда решая получим общее решение первоначального уравнения .

На практике можно понизить порядок путем последовательного интегрирования уравнения. Т.к. , то наше уравнение можно записать в виде , тогда интегрируя уравнение получим или

Интегрируя последнее уравнение по х найдем

т.е. - общее решение данного уравнения.

Если дано уравнение ,то проинтегрировав его последовательно n раз ,найдем общее решение уравнения:

Пример:

- общее решение.

2) .

Обозначим ,где - новая неизвестная функция. Тогда и наше уравнение примет вид: . Пусть - общее решение полученного уравнения. Тогда заменяя Р на получаем . Это уравнение можно интегрировать . Частным случаем рассмотренного уравнения является . Оно интегрируется тем же способом : . Получаем с разделяющимися переменными.

Если задано уравнение вида , то его порядок можно понизить на k единиц положив .Тогда и уравнение примет вид

Частным случаем последнего уравнения служит или . С помощью замены это уравнение сводится к ДУ первого порядка.

Пример: Полагая получим - уравнение с разделяющимися переменными интегрируя получим , возвращаясь к исходной переменной

3) Уравнение вида .

Для понижения порядка этого уравнения введем функцию зависящую от переменной ,полагая . Дифференцируя это равенство по с учетом, что , получим , т.е.

тогда после подстановки получим . Пусть является общим решением этого уравнения. Заменяя функцию на получаем - ДУ с разделяющимися переменными. Интегрируя его найдем общий интеграл нашего уравнения. . Частным случаем ДУ является уравнение .Это уравнение решается при помощи аналогичной подстановки и .

Точно также решается уравнение , его порядок понижается на единицу заменой по правилу дифференцирования сложной функции .

и т.д.