- •Часть I Введение
- •I. Матрицы.
- •1. Основные понятия.
- •2. Действия над матрицами
- •2. Определители
- •1. Основные понятия
- •2. Свойства определителей (необходимы для вычисления определителей):
- •3. Невырожденные матрицы
- •2. Ранг матрицы
- •II. Система линейных уравнений.
- •1. Основные понятия
- •2. Решение системы линейных уравнений
- •3. Решение не вырожденных линейных систем.
- •4. Метод Гаусса
- •5. Система однородных линейных уравнений
- •6.Модель Леонтьева многоотраслевой экономики
- •III. Элементы векторной алгебры
- •1. Основные понятия
- •2. Операции над векторами
- •3. Векторное пространство и п – мерный вектор
- •3.1. Линейная зависимость векторов
- •Размерность и базис линейного пространства.
- •3.3. Разложение вектора в ортогональном базисе.
- •3.4.Переход к новому базису.
- •3.5. Линейные операторы.
- •3.6. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.
- •2. Симметричный оператор.
- •3. Ортогональность собственных векторов.
- •3.7.Квадратичные формы.
- •IV Аналитическая геометрия на плоскости.
- •1.Система координат. Основные понятия.
- •Линия на плоскости(основные понятия)
- •2. Уравнение прямой на плоскости
- •1) Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •2) Общее уравнение прямой X
- •7) Нормальное уравнение прямой
- •8) Угол между двумя прямыми
- •9) Точка пересечения прямых
- •10) Расстояние от точки до прямой
- •3.Линии второго порядка на плоскости.
- •1) Окружность
- •2) Эллипс
- •3) Гипербола.
- •Исследование формы гиперболы по ее уравнению
- •Асимптоты гиперболы
- •4) Парабола
- •Исследование формы параболы по ее уравнению
- •5) Общее уравнение линий второго порядка
- •V Аналитическая геометрия в пространстве
- •1. Уравнение поверхности и линии в пространстве
- •2.Поверхности второго порядка
- •VI. Основы математического анализа
- •1. Множества. Действительные числа
- •6. Предел функции
- •1) Предел функции в точке
- •2) Предел функции при X→∞.
- •3) Бесконечно большая функция (б.Б.Ф.).
- •4) Бесконечно малые функции.
- •6) Признаки существования пределов.
- •7) Первый замечательный предел.
- •8. Комплексные числа
- •Часть II Функции нескольких переменных
- •Функция двух переменных
- •Предел функции
- •Непрерывность функции двух переменных
- •Производные и дифференциалы функции нескольких переменных
- •Частные производные высших порядков
- •Дифференцируемость и полный дифференциал функции
- •Дифференциалы высших порядков
- •Производная сложной функции. Полная производная
- •8.Инвариантность формы полного дифференциала
- •Дифференцирование неявной функции
- •Производная по направлению
- •Градиент
- •Экстремум функции двух переменных
- •Необходимые и достаточные условия экстремума
- •II. Неопределенный интеграл
- •Понятие неопределенного интеграла
- •2. Свойства неопределенного интеграла
- •3. Таблица основных неопределенных интегралов
- •4. Основные методы интегрирования
- •5. Интегрирование рациональных функций.
- •6. Интегрирование тригонометрических функций
- •7. Интегрирование иррациональных функций
- •III. Определенный интеграл
- •Определение определенного интеграла
- •Геометрический смысл определенного интеграла
- •3) Работа переменной силы
- •Формулы Ньютона-Лейбница
- •Основные свойства определенного интеграла
- •Вычисление определенного интеграла
- •Несобственные интегралы
- •7. Применение определенных интегралов для расчета геометрических и физических величин различного рода
- •7.1. Вычисление площадей плоских фигур
- •7.2 Вычисление длины дуги плоской кривой
- •7.3 Вычисление объема тела
- •8. Приближенное вычисление определенного интеграла
- •8.1. Формулы прямоугольников
- •8.2. Формула трапеций
- •8.3. Формула парабол (Симпсона)
- •4. Кратные интегралы
- •4.1. Двойной интеграл. Основные понятия
- •4.2. Геометрический смысл двойного интеграла
- •4.3. Основные свойства двойного интеграла
- •4.4.Вычисление двойного интеграла
- •4.5. Приложения двойного интеграла
- •Статические моменты и центр тяжести плоской фигуры
- •4.6. Тройной интеграл. Основные понятия
- •4.7. Вычисление тройного интеграла.
- •4.8. Приложения тройного интеграла
- •V. Числовые ряды
- •5.1. Основные понятия
- •5.2. Необходимый признак сходимости числового ряда
- •5.3. Достаточные признаки сходимости знакопостоянных рядов
- •5.4. Признак Даламбера
- •5.5. Радикальный признак Коши
- •5.6. Интегральный признак Коши. Обобщенный гармонический ряд
- •5.7. Знакочередующиеся и знакопеременные ряды Признак Лейбница
- •5.8. Абсолютная и условная сходимость числовых рядов
- •Степенные ряды
- •1 Функциональные ряды
- •1.1 Основные понятия
- •2. Некоторые приложения степенных рядов
- •2.1. Приближенное вычисление значений функций
- •2.2. Приближенное вычисление определенных интегралов
- •VII Ряды Фурье
- •7.1. Основные понятия
- •7.2. Тригонометрический ряд Фурье
- •7.3 Разложение в ряд Фурье 2π-периодических функций. Теорема Дирихле
- •7.4. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций
- •7.5. Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода
- •VIII. Дифференциальные уравнения (д.У.)
- •8.1. Общие сведения на основании понятия о д.У.
- •8.2. Дифференциальное уравнение первого порядка
- •8.3.Дифференциальные уравнения высших порядков
- •1.Решение путем понижения порядка уравнения.
- •2.Линейные дифференциальные уравнения высших порядков.
- •8.4. Решение ду второго порядка с постоянными коэффициентами.
- •1.Решение лоду второго порядка с постоянными коэффициентами.
- •2. Решение лоду n –го порядка с постоянными коэффициентами.
- •Линейные неоднородные дифференциальные уравнения (лнду)
- •1.Структура общего решения лнду второго порядка.
- •2.Метод вариации произвольных постоянных.
- •3.Решение лнду второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.
- •4.Решение лнду n- го порядка с постоянными коэффициентами и правой специальной частью.
- •Системы дифференциальных уравнений
- •Решение нормальных систем.
- •2.Системы линейных ду с постоянными коэффициентами.
III. Элементы векторной алгебры
1. Основные понятия
Величины, которые полностью определяются своим численным значением, называются скалярными. Примерами являются: длинна, площадь объем, работа, масса.
Величины, которые определяются не только своим численным значением, но и направлением называются векторами, пример – скорость, сила.
Определение. Направленный отрезок, на котором задано начало, конец и направление называется вектором. Если А и В – начало и конец, то вектор можно обозначить или .
А B
Расстояние между началом и концом вектора называют его длиной.
-
Векторы и называют коллинеарными, если они лежат на одной или параллельных прямых.
-
Векторы и называют равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и их длины равны.
В любой системе координат вектор можно охарактеризовать своими координатами =(x,y,z). Пусть в системе координат OXYZ координаты начала и конца вектора соответственно А (x1, y1, z1) и В (x2, y2, z2). Тогда координаты этого вектора определяются формулой: x = x2 - x1, y = y2-y1, z = z2-z1.
Длина вектора – модуль вектора:
Нулевой вектор (000). Нулевой длины.
2. Операции над векторами
Пусть даны два вектора =(a1,a2,a3) и =(b1,b2,b3)
-
Сложение. Суммой векторов и называется третий вектор =(с1,с2,с3) координаты которого равны сумме соответствующих координат a и b
c1 =a1+b1, c2=a2+b2, c3=a3+b3 .
-
Произведение. Произведение вектора a ≠ 0 на число λ ≠ 0 называется вектор λ , координаты которого соответственно равны λa1, λa2, λa3.
Можно показать, что для получения суммы векторов нужно совместить конец вектора с началом вектора , тогда = + будет направлен от начала первого к концу второго (рис. 1).
Г
Рис.1
-
Вычитание.
Под разностью векторов и понимается вектор такой, что .
Рис.2
Через координаты разность векторов и будет равна вектору , причем ; ; .
Т.е.
-
Основные свойства линейных операций.
1. +=+
2.( +)+= +(+)
3. λ ·( α ·)=(λ·)·α
4.(α+λ)·=α·+λ·
5.λ·(+)=λ·+λ·
Пусть даны два вектора =(a1,a2,a3) и =(b1,b2,b3) из определений коллинеарности и произведения вектора на число следует, что a и b коллинеарны в том и только в том случае если их координаты пропорциональны
- условие коллинеарности векторов
-
Скалярное произведение векторов.
Скалярным произведением двух векторов и называют число равное
·=··cosα (1), где - угол между и . Скалярное произведение можно выразить через их координаты следующим образом:
пусть даны =(a1,а2,а3) и =(b1,b2,b3).Тогда, ·(2)
(все смешанные произведения = 0) .Сопоставляя (1) и (2) получим:
;
Скалярное произведение векторов обладает следующими свойствами:
1). · = ·;
2). ( ·λ)· =(·)·λ
3). ·(+)= +
4). =||2
5). ·=0 если вектор перпендикулярен вектору .
-
Векторное произведение векторов.
Векторным произведением вектора на называется вектор с, который
а.) перпендикулярен векторам и т.е. ┴ и ┴ .
b.) имеет длину численно равную площади параллелограмма построенного на векторах и как на сторонах (рис.2), т.е. |с| = |а|·|b|·sinφ, где φ=(a^b).
с.) Векторы и должны образовывать правую тройку (три вектора образуют правую тройку векторов, если с конца третьего вектора с кротчайший поворот от первого а, ко второму b, виден совершающимся против часовой стрелки, и левую если по часовой).
Векторное произведение обозначается ×= или []=
Векторное произведение векторов обладает следующими свойствами:
1. × = −(×)
2
φ
3
Рис. 3
4
Векторное произведение можно выразить через координаты:
×==
=
Где, , – единичные орты, направленные вдоль осей координат
Это легко доказывается (делать этого не будем).
-
Смешанное произведение векторов.
(
a
= ×. (рис. 4)
Рис. 4
Имеем,
Где S – площадь параллелограмма, построенного на векторах и , а – высота параллелепипеда, тогда .Знак «+» если эти вектора образуют правую тройку и знак «–» если левую, где - объем параллелепипеда.
Свойства смешанного произведения:
1)
2)
3)
4)(axb)c=-(bxa)c и т.д.
Выражение смешанного произведения через координаты:
;
Без доказательства.