- •Часть I Введение
- •I. Матрицы.
- •1. Основные понятия.
- •2. Действия над матрицами
- •2. Определители
- •1. Основные понятия
- •2. Свойства определителей (необходимы для вычисления определителей):
- •3. Невырожденные матрицы
- •2. Ранг матрицы
- •II. Система линейных уравнений.
- •1. Основные понятия
- •2. Решение системы линейных уравнений
- •3. Решение не вырожденных линейных систем.
- •4. Метод Гаусса
- •5. Система однородных линейных уравнений
- •6.Модель Леонтьева многоотраслевой экономики
- •III. Элементы векторной алгебры
- •1. Основные понятия
- •2. Операции над векторами
- •3. Векторное пространство и п – мерный вектор
- •3.1. Линейная зависимость векторов
- •Размерность и базис линейного пространства.
- •3.3. Разложение вектора в ортогональном базисе.
- •3.4.Переход к новому базису.
- •3.5. Линейные операторы.
- •3.6. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.
- •2. Симметричный оператор.
- •3. Ортогональность собственных векторов.
- •3.7.Квадратичные формы.
- •IV Аналитическая геометрия на плоскости.
- •1.Система координат. Основные понятия.
- •Линия на плоскости(основные понятия)
- •2. Уравнение прямой на плоскости
- •1) Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •2) Общее уравнение прямой X
- •7) Нормальное уравнение прямой
- •8) Угол между двумя прямыми
- •9) Точка пересечения прямых
- •10) Расстояние от точки до прямой
- •3.Линии второго порядка на плоскости.
- •1) Окружность
- •2) Эллипс
- •3) Гипербола.
- •Исследование формы гиперболы по ее уравнению
- •Асимптоты гиперболы
- •4) Парабола
- •Исследование формы параболы по ее уравнению
- •5) Общее уравнение линий второго порядка
- •V Аналитическая геометрия в пространстве
- •1. Уравнение поверхности и линии в пространстве
- •2.Поверхности второго порядка
- •VI. Основы математического анализа
- •1. Множества. Действительные числа
- •6. Предел функции
- •1) Предел функции в точке
- •2) Предел функции при X→∞.
- •3) Бесконечно большая функция (б.Б.Ф.).
- •4) Бесконечно малые функции.
- •6) Признаки существования пределов.
- •7) Первый замечательный предел.
- •8. Комплексные числа
- •Часть II Функции нескольких переменных
- •Функция двух переменных
- •Предел функции
- •Непрерывность функции двух переменных
- •Производные и дифференциалы функции нескольких переменных
- •Частные производные высших порядков
- •Дифференцируемость и полный дифференциал функции
- •Дифференциалы высших порядков
- •Производная сложной функции. Полная производная
- •8.Инвариантность формы полного дифференциала
- •Дифференцирование неявной функции
- •Производная по направлению
- •Градиент
- •Экстремум функции двух переменных
- •Необходимые и достаточные условия экстремума
- •II. Неопределенный интеграл
- •Понятие неопределенного интеграла
- •2. Свойства неопределенного интеграла
- •3. Таблица основных неопределенных интегралов
- •4. Основные методы интегрирования
- •5. Интегрирование рациональных функций.
- •6. Интегрирование тригонометрических функций
- •7. Интегрирование иррациональных функций
- •III. Определенный интеграл
- •Определение определенного интеграла
- •Геометрический смысл определенного интеграла
- •3) Работа переменной силы
- •Формулы Ньютона-Лейбница
- •Основные свойства определенного интеграла
- •Вычисление определенного интеграла
- •Несобственные интегралы
- •7. Применение определенных интегралов для расчета геометрических и физических величин различного рода
- •7.1. Вычисление площадей плоских фигур
- •7.2 Вычисление длины дуги плоской кривой
- •7.3 Вычисление объема тела
- •8. Приближенное вычисление определенного интеграла
- •8.1. Формулы прямоугольников
- •8.2. Формула трапеций
- •8.3. Формула парабол (Симпсона)
- •4. Кратные интегралы
- •4.1. Двойной интеграл. Основные понятия
- •4.2. Геометрический смысл двойного интеграла
- •4.3. Основные свойства двойного интеграла
- •4.4.Вычисление двойного интеграла
- •4.5. Приложения двойного интеграла
- •Статические моменты и центр тяжести плоской фигуры
- •4.6. Тройной интеграл. Основные понятия
- •4.7. Вычисление тройного интеграла.
- •4.8. Приложения тройного интеграла
- •V. Числовые ряды
- •5.1. Основные понятия
- •5.2. Необходимый признак сходимости числового ряда
- •5.3. Достаточные признаки сходимости знакопостоянных рядов
- •5.4. Признак Даламбера
- •5.5. Радикальный признак Коши
- •5.6. Интегральный признак Коши. Обобщенный гармонический ряд
- •5.7. Знакочередующиеся и знакопеременные ряды Признак Лейбница
- •5.8. Абсолютная и условная сходимость числовых рядов
- •Степенные ряды
- •1 Функциональные ряды
- •1.1 Основные понятия
- •2. Некоторые приложения степенных рядов
- •2.1. Приближенное вычисление значений функций
- •2.2. Приближенное вычисление определенных интегралов
- •VII Ряды Фурье
- •7.1. Основные понятия
- •7.2. Тригонометрический ряд Фурье
- •7.3 Разложение в ряд Фурье 2π-периодических функций. Теорема Дирихле
- •7.4. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций
- •7.5. Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода
- •VIII. Дифференциальные уравнения (д.У.)
- •8.1. Общие сведения на основании понятия о д.У.
- •8.2. Дифференциальное уравнение первого порядка
- •8.3.Дифференциальные уравнения высших порядков
- •1.Решение путем понижения порядка уравнения.
- •2.Линейные дифференциальные уравнения высших порядков.
- •8.4. Решение ду второго порядка с постоянными коэффициентами.
- •1.Решение лоду второго порядка с постоянными коэффициентами.
- •2. Решение лоду n –го порядка с постоянными коэффициентами.
- •Линейные неоднородные дифференциальные уравнения (лнду)
- •1.Структура общего решения лнду второго порядка.
- •2.Метод вариации произвольных постоянных.
- •3.Решение лнду второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.
- •4.Решение лнду n- го порядка с постоянными коэффициентами и правой специальной частью.
- •Системы дифференциальных уравнений
- •Решение нормальных систем.
- •2.Системы линейных ду с постоянными коэффициентами.
V Аналитическая геометрия в пространстве
1. Уравнение поверхности и линии в пространстве
1) Основные понятия
Поверхность в пространстве, как правило можно рассматривать как геометрическое место точек удовлетворяющих какому-либо условию. Например, сфера радиуса R с центром в т.О1.есть геометрическое место точек удаленных от т. О1 на расстояние R. Прямоугольная система координат Oxyz позволяет однозначно установить соответствие между точками пространства и тройками чисел x,y,z- их координатами. Свойства, общие всем точкам, можно записать в виде уравнения, связывающего координаты всех точек поверхности. Уравнение данной поверхности в прямоугольной системе координат Oxyz называют уравнением вида F(x,y,z)=0, с тремя переменными x,y,z которому удовлетворяют координаты каждой точки лежащей на поверхности и не удовлетворяют координаты точек не лежащие на поверхности.
2) Уравнение линии в пространстве
Линию в пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух поверхностей или как геометрическое место точек общих двум поверхностям. Если F1(x,y,z)=0 и F2(x,y,z) уравнения двух поверхностей, то координаты линии их пересечения (L) должно удовлетворять системе двух уравнений с тремя неизвестными
-это уравнение линии в пространстве.
Линию в пространстве можно рассматривать и как траекторию движения точки. В этом случае ее задают векторным уравнением r=r(t) или параметрическим уравнениями.
-проекции вектора r на оси координат.
3) Уравнение прямой в пространстве
1. Векторное уравнение прямой
Положение прямой в пространстве вполне определено, если задать какую-либо точку M0 на прямой и вектор параллельный этой прямой. Вектор - называется направляющим вектором прямой. Пусть прямая L задана ее точкой M0(x0,y0,z0) и направляющим вектором (m,n,p). Возьмем на прямой L произвольную точку M(x,y,z). Обозначим радиус –
в
r
M0 L M y x
2. Параметрическое уравнение прямой
Поскольку =(x,y,z), =(x0,y0,z0), t=(tm,tn,tp), то уравнение прямой можно записать в виде:
. Отсюда - параметрическое уравнение прямой в пространстве.
3
Рис.1.
исключая из параметрического уравнения прямой t получим:
- каноническое уравнение прямой.
4. Уравнение прямой проходящей через две точки
Пусть прямая L проходит через точки M1(x1,y1,z1) и M2(x2,y2,z2). В качестве направляющего вектора можно взять , т.е. = , следовательно, m=x2-x1 , n=y2-y1, p=z2-z1 . поскольку наша прямая проходит через т.M1(x,y,z) то каноническое уравнение примет вид :
- уравнение прямой проходящей через две точки.
5. Угол между прямыми
Пусть L1 и L2 заданы уравнениями
. Под углом между этими прямыми понимают угол между направляющими векторами 1(m1,n1,p1) и 2(m2,n2,p2).Поэтому по известной формуле для косинуса угла между векторами получим или
Если L1 перпендикулярна L2 , то в этом случае cosφ=0, следовательно
Если L1 || L2 , то векторы 1 || 2 и координаты векторов 1 и 2 пропорциональны:
.
4) Уравнение плоскости в пространстве.
Простейшей поверхностью является плоскость. Плоскость в пространстве Oxyz можно задать различными способами и каждому из них соответствует конкретное уравнение.
1. Уравнение плоскости проходящей через точку перпендикулярно вектору.
Пусть в пространстве Oxyz плоскость Q задана точкой M0(x0,y0,z0) и вектором =(A,B,C) перпендикулярным этой плоскости. Возьмем на плоскости произвольную точку M(x,y,z) и составим вектор . Так как перпендикулярен Q, то вектор перпендикулярен вектору , поэтому их скалярное произведение , т.е.
(1)
-это уравнение плоскости проходящей через данную точку перпендикулярную вектору . Вектор n=(A,B,C) называется нормальным вектором плоскости. Придавая коэффициентам A,B,C различные значения можно получить уравнения любых плоскостей проходящих через т.M0 .
2. Общее уравнение плоскости
Рассмотрим общее уравнение первой степени с тремя переменными x,y и z.
(2)
Полагая , что по крайней мере , один из коэффициентов A,B или C≠0, например B≠0, перепишем его в виде:
Сравнивая полученное уравнение с ранее полученным (1) видим, что последнее является уравнением плоскости с нормальным вектором =(A,B,C), проходящее через точку . Итак уравнение (2) определяет в пространстве Oxyz некоторую плоскость. Это уравнение и называется общим уравнением плоскости.
Частные случаи:
а) Если D=0, то . Этому уравнению отвечает т.O(0,0,0)-начало координат. Следовательно, эта плоскость проходит через начало координат;
б) Если C=0, имеем , вектор (A,B,0) перпендикулярен оси Oz. Следовательно, плоскость параллельна Oz; B=0 , то || оси Oy; A=0, то || оси Ox.
в) Если C=D=0, то плоскость проходит через т.O(0,0,0) и || Oz, то есть проходит через ось Oz;
г) Если A=B=0, то Cz+D=0, то есть Z= , плоскость || плоскости Oxy;
д) Если A=B=D=0, то Cz=0 , то есть Z=0 , это уравнение плоскости Oxy.
3. Уравнение плоскости, проходящей через три точки.
Три точки в пространстве не лежащие на одной прямой определяют единственную плоскость. Найдем уравнение плоскости Q ,проходящей через три данных точки M1(x1,y1,z1), M2(x2,y2,z2) и M3(x3,y3,z3), не лежащие на одной прямой. Возьмем на плоскости произвольную точку M(x,y,z) и составим векторы ; и . Эти векторы компланарны. Используя условия компланарности трех векторов (их смешанное произведение=0) получим:
т.е.
(1)
-это уравнение есть уравнение плоскости, проходящей через три точки.
4. Уравнение плоскости в отрезках
Пусть плоскость отсекает на осях Ox, Oy и Oz соответственно отрезки ,b,c. То есть она проходит через три точки A(,0,0),B(0,b0) и C(0,0,c). Подставляя в уравнение (1) получим:
=0. Раскрыв определитель имеем:
или -уравнение плоскости в отрезках на осях.
5. Нормальное уравнение плоскости
Положение плоскости Q можно определить заданием единичного вектора , совпадающего с направлением OK – перпендикуляром, опущенным из начала координат на плоскость и длинной этого перпендикуляра (рис.2)
0 M k x y
Рис.2.
= =(x,y,z). При любом положении
точки M на плоскости Q проекция вектора на направление вектора всегда равно p.
т.е. или - это нормальное уравнение плоскости. Зная координаты r и e можно его переписать в следующей форме:
6. Угол между двумя плоскостями
пусть заданы две плоскости Q1 и Q2:
Под углом между плоскостями понимают один из двугранных углов образованных этими плоскостями. Угол φ между нормальными векторами (A1,B1,C1) и (A2,B2,C2) плоскостей Q1 Q2 равен одному из этих углов. Поэтому или . Для нахождения острого угла следует взять модуль правой части. Если Q1 перпендикулярен Q2, то вектор перпендикулярен вектору , тогда вектор =0, то есть .
полученное равенство есть условие перпендикулярности Q1 и Q2 . Если Q1 || Q2 , то || , тогда координаты векторов пропорциональны, то есть - это условие параллельности Q1 и Q2.
7. Расстояние от точки до плоскости.
П
z
=
M0 Q
d
Так как т.M1 принадлежит Q, то
M1 y
X
8.Угол между прямой и плоскостью
Пусть плоскость задана уравнением , а прямая L уравнением
L
У глом между прямой и плоскостью называется любой из двух смежных углов, образованных прямой и ее проекцией на плоскость.
Рис.4
Пусть φ- угол между Q и L, а - угол между =(A,B,C) и =(m,n,p) (Рис.4). Тогда
,а и так как Sinφ≥0 получим:
-искомый результат.
Если L || Q , то, поэтому =0, то есть является условием параллельности L и Q.
Если LQ , то и ||, поэтому -условия перпендикулярности L и Q.
9. Пересечение прямой с плоскостью
Найти точку пересечения прямой с плоскостью .
Для этого надо решить систему этих уравнений. Проще всего это сделать если записать уравнение прямой в параметрической форме:
Подставляя эти значения в уравнение плоскости получим или , если L не || Q, то есть если , то получим , подставляя t в записанные выше уравнение прямой в параметрической форме координат, получим их значения в точке пересечения L и Q.