4. Частные производные высших порядков

Если Z= f(х;у) имеет частные производные и и они являются функциями от (х,у), то их можно продифференцировать и получить частные производные второго порядка Z″_xx; Z″_xy; Z″_yx и Z″_yy; аналогичным образом можно ввести и определить частные производные 3, 4 и т.д. порядков. Частные производные, взятые по различным переменным, называются смешанными частными производными. Это Z″_xy и Z″_yx.

Теорема. Если частные производные высшего порядка непрерывны, то смешанные производные одного порядка, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, равны между собой, т.е. Z″xy=Z″_yx.

5. Дифференцируемость и полный дифференциал функции

Пусть Z= f(х;у) определена в некоторой окрестности точки М(х;у) полное приращение ∆Z=f(x+∆x,у+∆у)-f(x,y). Z= f(х;у) называется дифференцируемой в М(х;у), если ее полное приращение можно представить в виде: ∆Z=А∆х+В∆у+α∆х+β∆у, где α= α(∆х,∆у)→0 и β= β(∆х,∆у)→0 при ∆х→0, ∆у→0. Сумма двух первых слагаемых представляет собой главную часть приращения функции. Главная часть приращения функции, линейная относительно ∆х и ∆у, называется полным дифференциалом функции и обозначается символом dZ=A∆x+B∆y. Выражения A∆x и B∆y называются частными дифференциалами. Для независимых переменных х и у полагают ∆x=dx, ∆y=dy. Поэтому dZ=Adx+Bdy.

Теорема 1. (необходимое условие дифференцирования функции). Если Z= f(х;у) дифференцируема в точке М(х;у), то она непрерывна в этой точке и имеет в ней частные производные и , причем =А; =В.

Таким образом, можно записать dZ= dx+dy или dZ=d_х Z+ d_уZ.

Теорема 2. Если Z= f(х; у) имеет непрерывные частные производные Z′_х и Z′_у в точке М (х;у), то она дифференцируема в этой точке и ее полный дифференциал выражается формулой записанной выше.

Чтобы функция Z= f(х; у) была дифференцируема в точке, необходимо чтобы она имела в ней частные производные и достаточно чтобы она имела в точке непрерывные частные производные.

Арифметические свойства правила исчисления дифференциалов функции одной переменной сохраняются и в случае дифференциалов функции двух и более переменных.

6. Дифференциалы высших порядков

Полный дифференциал называется дифференциалом первого порядка. Пусть Z= f(х;у) имеет непрерывные частные производные второго порядка. Дифференциал второго порядка в этом случае определяется по формуле . Найдем ее d² Z= d(dx+dy)= (dx+dy)_х′ dx+(dx+dy)_у′ dу=(dx+dy) dx+(dx+dy)dу, отсюда d² Z= dx²+2 dx dy+ dy². Символически это можно записать так: d² Z=()²Z. Аналогично можно получить формулу

d³ Z= d (d² Z)==()³Z, а для dⁿ Z=()ⁿZ. Все эти соотношения справедливы лишь в случае, если переменные х и у функции Z= f(х;у) являются независимыми.

7. Производная сложной функции. Полная производная

Пусть Z= f(х;у) – функция двух переменных х и у, каждая из которых является функцией независимой переменной t (х=х(t),у=у(t)). В этом случае Z= f(х(t);у(t)) является сложной функцией одной независимой переменной t, а переменные х и у – являются промежуточными переменными.

Теорема. Если Z= f(х;у) дифференцируема в точке М(х,у) и х=х(t),у=у(t) – дифференцируемые функции независимой переменной t, то производная сложной функции Z(t )= f(х(t);у(t)) вычисляется по формуле .

Доказательство. Дадим независимой t приращение ∆t. Тогда х=х(t) и у=у(t) получат приращения ∆х и ∆у соответственно. Они в свою очередь вызовут приращение ∆Z функции Z. Так как Z= f(х;у) по условию дифференцируемая в М(х,у), то ее полное приращение равно ∆Z=, где α→0 β →0 при ∆х→0 и ∆у→0. Разделим ∆Z на ∆t и перейдем к пределу ∆t→0, тогда ∆х→0 и ∆у→0 в силу непрерывности функций х=х(t); у=у(t) получаем: , т.е.. Ч.т.д.