- •Часть I Введение
- •I. Матрицы.
- •1. Основные понятия.
- •2. Действия над матрицами
- •2. Определители
- •1. Основные понятия
- •2. Свойства определителей (необходимы для вычисления определителей):
- •3. Невырожденные матрицы
- •2. Ранг матрицы
- •II. Система линейных уравнений.
- •1. Основные понятия
- •2. Решение системы линейных уравнений
- •3. Решение не вырожденных линейных систем.
- •4. Метод Гаусса
- •5. Система однородных линейных уравнений
- •6.Модель Леонтьева многоотраслевой экономики
- •III. Элементы векторной алгебры
- •1. Основные понятия
- •2. Операции над векторами
- •3. Векторное пространство и п – мерный вектор
- •3.1. Линейная зависимость векторов
- •Размерность и базис линейного пространства.
- •3.3. Разложение вектора в ортогональном базисе.
- •3.4.Переход к новому базису.
- •3.5. Линейные операторы.
- •3.6. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.
- •2. Симметричный оператор.
- •3. Ортогональность собственных векторов.
- •3.7.Квадратичные формы.
- •IV Аналитическая геометрия на плоскости.
- •1.Система координат. Основные понятия.
- •Линия на плоскости(основные понятия)
- •2. Уравнение прямой на плоскости
- •1) Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •2) Общее уравнение прямой X
- •7) Нормальное уравнение прямой
- •8) Угол между двумя прямыми
- •9) Точка пересечения прямых
- •10) Расстояние от точки до прямой
- •3.Линии второго порядка на плоскости.
- •1) Окружность
- •2) Эллипс
- •3) Гипербола.
- •Исследование формы гиперболы по ее уравнению
- •Асимптоты гиперболы
- •4) Парабола
- •Исследование формы параболы по ее уравнению
- •5) Общее уравнение линий второго порядка
- •V Аналитическая геометрия в пространстве
- •1. Уравнение поверхности и линии в пространстве
- •2.Поверхности второго порядка
- •VI. Основы математического анализа
- •1. Множества. Действительные числа
- •6. Предел функции
- •1) Предел функции в точке
- •2) Предел функции при X→∞.
- •3) Бесконечно большая функция (б.Б.Ф.).
- •4) Бесконечно малые функции.
- •6) Признаки существования пределов.
- •7) Первый замечательный предел.
- •8. Комплексные числа
- •Часть II Функции нескольких переменных
- •Функция двух переменных
- •Предел функции
- •Непрерывность функции двух переменных
- •Производные и дифференциалы функции нескольких переменных
- •Частные производные высших порядков
- •Дифференцируемость и полный дифференциал функции
- •Дифференциалы высших порядков
- •Производная сложной функции. Полная производная
- •8.Инвариантность формы полного дифференциала
- •Дифференцирование неявной функции
- •Производная по направлению
- •Градиент
- •Экстремум функции двух переменных
- •Необходимые и достаточные условия экстремума
- •II. Неопределенный интеграл
- •Понятие неопределенного интеграла
- •2. Свойства неопределенного интеграла
- •3. Таблица основных неопределенных интегралов
- •4. Основные методы интегрирования
- •5. Интегрирование рациональных функций.
- •6. Интегрирование тригонометрических функций
- •7. Интегрирование иррациональных функций
- •III. Определенный интеграл
- •Определение определенного интеграла
- •Геометрический смысл определенного интеграла
- •3) Работа переменной силы
- •Формулы Ньютона-Лейбница
- •Основные свойства определенного интеграла
- •Вычисление определенного интеграла
- •Несобственные интегралы
- •7. Применение определенных интегралов для расчета геометрических и физических величин различного рода
- •7.1. Вычисление площадей плоских фигур
- •7.2 Вычисление длины дуги плоской кривой
- •7.3 Вычисление объема тела
- •8. Приближенное вычисление определенного интеграла
- •8.1. Формулы прямоугольников
- •8.2. Формула трапеций
- •8.3. Формула парабол (Симпсона)
- •4. Кратные интегралы
- •4.1. Двойной интеграл. Основные понятия
- •4.2. Геометрический смысл двойного интеграла
- •4.3. Основные свойства двойного интеграла
- •4.4.Вычисление двойного интеграла
- •4.5. Приложения двойного интеграла
- •Статические моменты и центр тяжести плоской фигуры
- •4.6. Тройной интеграл. Основные понятия
- •4.7. Вычисление тройного интеграла.
- •4.8. Приложения тройного интеграла
- •V. Числовые ряды
- •5.1. Основные понятия
- •5.2. Необходимый признак сходимости числового ряда
- •5.3. Достаточные признаки сходимости знакопостоянных рядов
- •5.4. Признак Даламбера
- •5.5. Радикальный признак Коши
- •5.6. Интегральный признак Коши. Обобщенный гармонический ряд
- •5.7. Знакочередующиеся и знакопеременные ряды Признак Лейбница
- •5.8. Абсолютная и условная сходимость числовых рядов
- •Степенные ряды
- •1 Функциональные ряды
- •1.1 Основные понятия
- •2. Некоторые приложения степенных рядов
- •2.1. Приближенное вычисление значений функций
- •2.2. Приближенное вычисление определенных интегралов
- •VII Ряды Фурье
- •7.1. Основные понятия
- •7.2. Тригонометрический ряд Фурье
- •7.3 Разложение в ряд Фурье 2π-периодических функций. Теорема Дирихле
- •7.4. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций
- •7.5. Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода
- •VIII. Дифференциальные уравнения (д.У.)
- •8.1. Общие сведения на основании понятия о д.У.
- •8.2. Дифференциальное уравнение первого порядка
- •8.3.Дифференциальные уравнения высших порядков
- •1.Решение путем понижения порядка уравнения.
- •2.Линейные дифференциальные уравнения высших порядков.
- •8.4. Решение ду второго порядка с постоянными коэффициентами.
- •1.Решение лоду второго порядка с постоянными коэффициентами.
- •2. Решение лоду n –го порядка с постоянными коэффициентами.
- •Линейные неоднородные дифференциальные уравнения (лнду)
- •1.Структура общего решения лнду второго порядка.
- •2.Метод вариации произвольных постоянных.
- •3.Решение лнду второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.
- •4.Решение лнду n- го порядка с постоянными коэффициентами и правой специальной частью.
- •Системы дифференциальных уравнений
- •Решение нормальных систем.
- •2.Системы линейных ду с постоянными коэффициентами.
8.2. Дифференциальное уравнение первого порядка
Дифференциальное уравнение первого порядка в общем случае можно записать в виде:
(1)
Уравнение связывает независимую переменную х, искомую функцию у и ее производную у’, если это уравнение можно разрешить относительно у’, то его записывают в виде:
(2) и называют Д.У. первого порядка, разрешенным относительно производной. Последнее уравнение устанавливает связь между координатами точки и угловым коэффициентом у - касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку. Следовательно, Д.У. даст совокупность направлений (поле направлений) на плоскости ОХУ. Таково геометрическое истолкование Д.У. первого порядка.
Кривая, во всех точках которой направление поля одинаково называется изоклиной. Изоклинами можно пользоваться для приближенного построения интегральных кривых. Уравнение изоклины можно получить, если положить что , т.е. .
Д.У. первого порядка, разрешенное относительно производной, можно записать в дифференциальной форме:
где и – известные функции. Последнее уравнение удобно тем, что переменные х и у в нем равноправны, т.е. любую из них можно рассматривать как функцию другой.
Интегрирование Д.У. в общем случае приводит к бесконечному множеству решений, отличающихся друг от друга на постоянные величины.
Чтобы решение Д.У. приобрело конкретный смысл, его надо подчинить некоторым дополнительным условиям. Условие, что при х=х0 функция у должна быть равна заданному числу у0 называется начальным условием. Начальное условие записывается в виде:
или
Общим решением Д.У. первого порядка называется функция , содержащая одну произвольную постоянную и удовлетворяющая условиям:
-
Функция является решением Д.У. при каждом фиксированном значении .
-
Каково ни было начальное условие, можно найти такое значение постоянной , что функция удовлетворяет данному начальному условию.
Частым решением Д.У. первого порядка называется любая функция , полученная из общего решения при конкретном значении постоянной .
Если общее решение Д.У. найдено в неявном виде, т.е. в виде уравнения , то такое уравнение называется общим интегралом Д.У. Уравнение в этом случае, называют частным интегралом уравнения.
С геометрической точки зрения есть семейство интегральных кривых на плоскости ХОУ, а частное решение – одна кривая из этого семейства, проходящая через точку .
Задача нахождения решения Д.У. первого порядка, удовлетворяющего заданному начальному условию, называется задачей Коши.
Теорема 8.1. Существование и единственность решения задачи Коши.
Если в уравнении (2) функция и ее частная производная непрерывны в некоторой области , содержащей точку , то существует единственное решение этого уравнения, удовлетворяющее начальным условиям.
Геометрический смысл теоремы состоит в том, что при выполнении ее условий существует единственная интегральная кривая Д.У., проходящая через точку .
1. Уравнения с разделяющимися переменными
Наиболее простым Д.У. первого порядка является уравнение вида:
(3)
В этом уравнении первое слагаемое зависит от х, а второе от у. Проинтегрировав почленно это уравнение, получим:
- это общий интеграл.
Более общий случай описывают уравнения с разделяющимися переменными, которые имеют вид:
(4)
Особенности этого уравнения заключаются в том, что коэффициенты
при и представляют собой произведения двух функций, одна из которых зависит только от х, а другая от у. Уравнение (4) легко сводится к уравнению (3) путем почленного деления его на . При этом получим:
- общий интеграл.
1) При проведении почленного деления Д.У. на могут быть потеряны некоторые решения. Поэтому следует отдельно решить уравнение и установить те решения Д.У., которые не могут быть получены из общего решения, так называемые – особые решения.
2) Уравнение также сводится к уравнениям, разделяющимися переменными. Для этого достаточно положить и разделить переменные.
3) Уравнение , где – числа, путем замены сводится к Д.У. с разделяющимися переменными. Дифференцируя по х, получим:
, т.е.
Откуда – интегрируя это уравнение и заменяя на , получим общий интеграл исходного уравнения.
Примеры:
-
Найти общий интеграл уравнения . Интегрируя, получим или . Обозначив , получим – общий интеграл Д.У.
-
, преобразуем левую часть. . Делим на , получим . Интегрируя, получим окончательно или . Поскольку по условию решения, то решения является особыми решениями и не входят в общий интеграл.
2. Однородные дифференциальные уравнения
К уравнениям с разделяющимися переменными приводятся однородные Д.У. первого порядка.
Функция называется однородной функцией n-го порядка, если при умножении каждого ее аргумента на произвольный множитель , вся функция умножается на , т.е.
.
Например, функция есть однородная функция второго порядка, поскольку
.
Дифференциальное уравнение называется однородным, если функция есть однородная функция нулевого порядка.
Покажем, что однородное Д.У. можно записать в виде:
(4)
Если – однородная функция нулевого порядка, то по определению . Положив получим:
Однородное уравнение (4) преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными при помощи замены переменной или, что то же самое .
Действительно, подставив и в уравнение (4), получаем или , т.е. уравнение с разделяющимися переменными. Найдя его общее решение следует заменить в нем на . Получим общее решение исходного уравнения.
Однородное уравнение часто задается в дифференциальной форме:
(5)
Это уравнение будет однородным, если и – однородные функции одинакового порядка.
Переписав (5) в виде и применив в правой части рассмотренное выше преобразование, получим уравнение . При интегрировании уравнений (5) нет необходимости предварительно приводить их к виду (4). Подстановка сразу преобразует уравнение (5) в уравнение с разделяющимися переменными.
Пример:
Найти общий интеграл уравнения.
- это однородное уравнение. Положим , тогда и получим , или после преобразований: - это уравнение с разделяющимися переменными. Делим переменные после интегрирования получим или .
Если , то , переходя к старым неизвестным, получим – решение исходного уравнения.
3. Линейные уравнения
Д.У. первого порядка называется линейным, если его можно записать в виде: , где – заданные функции и в частности постоянные.
Особенность этих Д.У. заключается в том, что искомая функция у и ее производная входят в уравнение первой степени не перемножаясь между собой.
Рассмотрим два метода решения этих уравнений. (Методы Бернулли и Лагранжа.)
-
Метод Бернулли
В этом случае решение линейного уравнения ищется в виде произведения двух функций, т.е. с помощью подстановки, где и – неизвестные функции от х, причем одна из них произвольная. Так любую у(х) можно записать в виде .
Тогда . Делая подстановку в линейном Д.У. получим или (6).
Подберем функцию так, чтобы выражение в скобках было равно нулю, т.е. решим Д.У. . Итак, т.е. или . Ввиду свободы выбора функции можно принять с=1, тогда . Подставляя найденное значение в (6), получим . Это уравнение с разделяющимися переменными. Решаем его. .Интегрируя получим: . Возвращаясь к переменной у, получим окончательно . Это решение исходного линейного Д.У.
2. Метод Лагранжа
Линейное уравнение решается следующим образом. Рассмотрим соответствующее уравнение без правой части, т.е. уравнение . Оно называется линейным однородным Д.У. первого порядка. В этом уравнении можно провести разделение переменных. и .Таким образом, , т.е. или , где
Метод Лагранжа состоит в том, что постоянную с в полученном решении заменяем функцией с(х), т.е. полагаем с=с(х). Решение линейного уравнения при этом ищем в виде:
(7)
Найдем производную от этого соотношения. Подставляем значения у и у’ в линейное уравнение.
Второе и третье слагаемые взаимно уничтожаются и окончательно получим: . Следовательно, . Интегрируя, получим: .
Подставляя выражение с(х) в (7) получим общее решение линейного Д.У. , что совпадает с результатом полученным методом Бернулли.
В заключении отметим, что зачастую метод Лагранжа называют методом вариации произвольной постоянной, что обусловлено тем, что при решении полагают с=с(х).