- •Часть I Введение
- •I. Матрицы.
- •1. Основные понятия.
- •2. Действия над матрицами
- •2. Определители
- •1. Основные понятия
- •2. Свойства определителей (необходимы для вычисления определителей):
- •3. Невырожденные матрицы
- •2. Ранг матрицы
- •II. Система линейных уравнений.
- •1. Основные понятия
- •2. Решение системы линейных уравнений
- •3. Решение не вырожденных линейных систем.
- •4. Метод Гаусса
- •5. Система однородных линейных уравнений
- •6.Модель Леонтьева многоотраслевой экономики
- •III. Элементы векторной алгебры
- •1. Основные понятия
- •2. Операции над векторами
- •3. Векторное пространство и п – мерный вектор
- •3.1. Линейная зависимость векторов
- •Размерность и базис линейного пространства.
- •3.3. Разложение вектора в ортогональном базисе.
- •3.4.Переход к новому базису.
- •3.5. Линейные операторы.
- •3.6. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.
- •2. Симметричный оператор.
- •3. Ортогональность собственных векторов.
- •3.7.Квадратичные формы.
- •IV Аналитическая геометрия на плоскости.
- •1.Система координат. Основные понятия.
- •Линия на плоскости(основные понятия)
- •2. Уравнение прямой на плоскости
- •1) Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •2) Общее уравнение прямой X
- •7) Нормальное уравнение прямой
- •8) Угол между двумя прямыми
- •9) Точка пересечения прямых
- •10) Расстояние от точки до прямой
- •3.Линии второго порядка на плоскости.
- •1) Окружность
- •2) Эллипс
- •3) Гипербола.
- •Исследование формы гиперболы по ее уравнению
- •Асимптоты гиперболы
- •4) Парабола
- •Исследование формы параболы по ее уравнению
- •5) Общее уравнение линий второго порядка
- •V Аналитическая геометрия в пространстве
- •1. Уравнение поверхности и линии в пространстве
- •2.Поверхности второго порядка
- •VI. Основы математического анализа
- •1. Множества. Действительные числа
- •6. Предел функции
- •1) Предел функции в точке
- •2) Предел функции при X→∞.
- •3) Бесконечно большая функция (б.Б.Ф.).
- •4) Бесконечно малые функции.
- •6) Признаки существования пределов.
- •7) Первый замечательный предел.
- •8. Комплексные числа
- •Часть II Функции нескольких переменных
- •Функция двух переменных
- •Предел функции
- •Непрерывность функции двух переменных
- •Производные и дифференциалы функции нескольких переменных
- •Частные производные высших порядков
- •Дифференцируемость и полный дифференциал функции
- •Дифференциалы высших порядков
- •Производная сложной функции. Полная производная
- •8.Инвариантность формы полного дифференциала
- •Дифференцирование неявной функции
- •Производная по направлению
- •Градиент
- •Экстремум функции двух переменных
- •Необходимые и достаточные условия экстремума
- •II. Неопределенный интеграл
- •Понятие неопределенного интеграла
- •2. Свойства неопределенного интеграла
- •3. Таблица основных неопределенных интегралов
- •4. Основные методы интегрирования
- •5. Интегрирование рациональных функций.
- •6. Интегрирование тригонометрических функций
- •7. Интегрирование иррациональных функций
- •III. Определенный интеграл
- •Определение определенного интеграла
- •Геометрический смысл определенного интеграла
- •3) Работа переменной силы
- •Формулы Ньютона-Лейбница
- •Основные свойства определенного интеграла
- •Вычисление определенного интеграла
- •Несобственные интегралы
- •7. Применение определенных интегралов для расчета геометрических и физических величин различного рода
- •7.1. Вычисление площадей плоских фигур
- •7.2 Вычисление длины дуги плоской кривой
- •7.3 Вычисление объема тела
- •8. Приближенное вычисление определенного интеграла
- •8.1. Формулы прямоугольников
- •8.2. Формула трапеций
- •8.3. Формула парабол (Симпсона)
- •4. Кратные интегралы
- •4.1. Двойной интеграл. Основные понятия
- •4.2. Геометрический смысл двойного интеграла
- •4.3. Основные свойства двойного интеграла
- •4.4.Вычисление двойного интеграла
- •4.5. Приложения двойного интеграла
- •Статические моменты и центр тяжести плоской фигуры
- •4.6. Тройной интеграл. Основные понятия
- •4.7. Вычисление тройного интеграла.
- •4.8. Приложения тройного интеграла
- •V. Числовые ряды
- •5.1. Основные понятия
- •5.2. Необходимый признак сходимости числового ряда
- •5.3. Достаточные признаки сходимости знакопостоянных рядов
- •5.4. Признак Даламбера
- •5.5. Радикальный признак Коши
- •5.6. Интегральный признак Коши. Обобщенный гармонический ряд
- •5.7. Знакочередующиеся и знакопеременные ряды Признак Лейбница
- •5.8. Абсолютная и условная сходимость числовых рядов
- •Степенные ряды
- •1 Функциональные ряды
- •1.1 Основные понятия
- •2. Некоторые приложения степенных рядов
- •2.1. Приближенное вычисление значений функций
- •2.2. Приближенное вычисление определенных интегралов
- •VII Ряды Фурье
- •7.1. Основные понятия
- •7.2. Тригонометрический ряд Фурье
- •7.3 Разложение в ряд Фурье 2π-периодических функций. Теорема Дирихле
- •7.4. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций
- •7.5. Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода
- •VIII. Дифференциальные уравнения (д.У.)
- •8.1. Общие сведения на основании понятия о д.У.
- •8.2. Дифференциальное уравнение первого порядка
- •8.3.Дифференциальные уравнения высших порядков
- •1.Решение путем понижения порядка уравнения.
- •2.Линейные дифференциальные уравнения высших порядков.
- •8.4. Решение ду второго порядка с постоянными коэффициентами.
- •1.Решение лоду второго порядка с постоянными коэффициентами.
- •2. Решение лоду n –го порядка с постоянными коэффициентами.
- •Линейные неоднородные дифференциальные уравнения (лнду)
- •1.Структура общего решения лнду второго порядка.
- •2.Метод вариации произвольных постоянных.
- •3.Решение лнду второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.
- •4.Решение лнду n- го порядка с постоянными коэффициентами и правой специальной частью.
- •Системы дифференциальных уравнений
- •Решение нормальных систем.
- •2.Системы линейных ду с постоянными коэффициентами.
2. Уравнение прямой на плоскости
Простейшей из линии является прямая. Разным способам задания прямой соответствуют в Оxy разные виды ее уравнений.
1) Уравнение прямой с угловым коэффициентом
Пусть на плоскости задана произвольная прямая не параллельная оси Oy. Точка M(x,y)- произвольная точка. Проведем через т. N(0,b) линию параллельную Ox. Рис.2. Тогда угол между нашей прямой и Nx' обозначим через α, а ,т.е.обозначив tgα=k получим :
это и есть уравнение прямой с угловым коэффициентом. Число K=tgα- угловой коэффициент прямой. y
1) если b=0, то y=Kx- прямая проходит через т.О r α
2)если α=0, то y=b-прямая, II оси x α
3
Рис.2.
2) Общее уравнение прямой X
Рассмотрим уравнение первой степени с двумя неизвестными x и y в общем, виде:
(1)
Где А,В,С,- произвольные цифры, причем А и В не равны нулю одновременно, т.е. А2+В2≠0.
1)Пусть В≠0,тогда разделив уравнение на В получим:
Пусть ,
Тогда y=kx+b-уравнение прямой с угловым коэффициентом.
2)пусть В=0, тогда получим:
Уравнение прямой параллельно оси Оy. То есть при любых значениях коэффициента В уравнение представляет собой уравнение прямой. Это уравнение и называется уравнением прямой в общем виде.
3) Уравнение прямой проходящей через данную точку в данном направлении
Пусть прямая проходит через т.М (x0,y0) направление характеризуется угловым коэффициентом k. Уравнение этой прямой можно записать в виде y=kx+b, где b- пока неизвестно. Так как прямая проходит через т.М0 (x0,y0), то y0=kx0+b→b=y0-kx0 и искомое уравнение примет вид:
Это уравнение называют также уравнением пучка прямых с центром в т.М0(x0,y0).
4) Уравнение прямой проходящей через две точки M1(x1,y1) и M2(x2,y2)
Уравнение прямой, проходящей через M1(x1,y1), имеет вид где k-пока неизвестный коэффициент, но так как прямая проходит и через M2(x2,y2), то
тогда и
(1) или-искомое уравнение.
5) Уравнение прямой в отрезках
Пусть прямая пересекает ось Ox в точке M1(,0),а ось Oy в т.M2(0,b) в этом случае уравнение (1) примет вид:
- это и есть уравнение прямой в отрезках.
6) Полярное уравнение прямой
Найдем уравнение прямой в полярных координатах. Ее положение можно определить указав расстояние P от полюса О до данной прямой и угол между полярной осью OP и осью l проходящей через полюс O данной прямой. Для любой точки M(r;φ) на данной прямой имеем:
,(Рис.3.) с другой стороны , отсюда, - это и есть уравнение прямой в полярных координатах.
7) Нормальное уравнение прямой
Пусть прямая определяется заданием p и α (рис.4). Уравнение прямой в полярных координатах можно записать в виде:
,т.е.
Н
o
r M(r,
)
90
Pис.3.
α
Можно показать, как привести уравнение прямой к виду (1). Для этого умножим уравнение прямой на некоторый множитель λ≠0. . Сопоставляя с (1) получим: y
и
Из первых равенств можно найти λ
α
O Рис.4.
Нормирующий множитель λ согласно третьему равенству должен всегда иметь знак противоположный знаку свободного члена С.