- •Часть I Введение
- •I. Матрицы.
- •1. Основные понятия.
- •2. Действия над матрицами
- •2. Определители
- •1. Основные понятия
- •2. Свойства определителей (необходимы для вычисления определителей):
- •3. Невырожденные матрицы
- •2. Ранг матрицы
- •II. Система линейных уравнений.
- •1. Основные понятия
- •2. Решение системы линейных уравнений
- •3. Решение не вырожденных линейных систем.
- •4. Метод Гаусса
- •5. Система однородных линейных уравнений
- •6.Модель Леонтьева многоотраслевой экономики
- •III. Элементы векторной алгебры
- •1. Основные понятия
- •2. Операции над векторами
- •3. Векторное пространство и п – мерный вектор
- •3.1. Линейная зависимость векторов
- •Размерность и базис линейного пространства.
- •3.3. Разложение вектора в ортогональном базисе.
- •3.4.Переход к новому базису.
- •3.5. Линейные операторы.
- •3.6. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.
- •2. Симметричный оператор.
- •3. Ортогональность собственных векторов.
- •3.7.Квадратичные формы.
- •IV Аналитическая геометрия на плоскости.
- •1.Система координат. Основные понятия.
- •Линия на плоскости(основные понятия)
- •2. Уравнение прямой на плоскости
- •1) Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •2) Общее уравнение прямой X
- •7) Нормальное уравнение прямой
- •8) Угол между двумя прямыми
- •9) Точка пересечения прямых
- •10) Расстояние от точки до прямой
- •3.Линии второго порядка на плоскости.
- •1) Окружность
- •2) Эллипс
- •3) Гипербола.
- •Исследование формы гиперболы по ее уравнению
- •Асимптоты гиперболы
- •4) Парабола
- •Исследование формы параболы по ее уравнению
- •5) Общее уравнение линий второго порядка
- •V Аналитическая геометрия в пространстве
- •1. Уравнение поверхности и линии в пространстве
- •2.Поверхности второго порядка
- •VI. Основы математического анализа
- •1. Множества. Действительные числа
- •6. Предел функции
- •1) Предел функции в точке
- •2) Предел функции при X→∞.
- •3) Бесконечно большая функция (б.Б.Ф.).
- •4) Бесконечно малые функции.
- •6) Признаки существования пределов.
- •7) Первый замечательный предел.
- •8. Комплексные числа
- •Часть II Функции нескольких переменных
- •Функция двух переменных
- •Предел функции
- •Непрерывность функции двух переменных
- •Производные и дифференциалы функции нескольких переменных
- •Частные производные высших порядков
- •Дифференцируемость и полный дифференциал функции
- •Дифференциалы высших порядков
- •Производная сложной функции. Полная производная
- •8.Инвариантность формы полного дифференциала
- •Дифференцирование неявной функции
- •Производная по направлению
- •Градиент
- •Экстремум функции двух переменных
- •Необходимые и достаточные условия экстремума
- •II. Неопределенный интеграл
- •Понятие неопределенного интеграла
- •2. Свойства неопределенного интеграла
- •3. Таблица основных неопределенных интегралов
- •4. Основные методы интегрирования
- •5. Интегрирование рациональных функций.
- •6. Интегрирование тригонометрических функций
- •7. Интегрирование иррациональных функций
- •III. Определенный интеграл
- •Определение определенного интеграла
- •Геометрический смысл определенного интеграла
- •3) Работа переменной силы
- •Формулы Ньютона-Лейбница
- •Основные свойства определенного интеграла
- •Вычисление определенного интеграла
- •Несобственные интегралы
- •7. Применение определенных интегралов для расчета геометрических и физических величин различного рода
- •7.1. Вычисление площадей плоских фигур
- •7.2 Вычисление длины дуги плоской кривой
- •7.3 Вычисление объема тела
- •8. Приближенное вычисление определенного интеграла
- •8.1. Формулы прямоугольников
- •8.2. Формула трапеций
- •8.3. Формула парабол (Симпсона)
- •4. Кратные интегралы
- •4.1. Двойной интеграл. Основные понятия
- •4.2. Геометрический смысл двойного интеграла
- •4.3. Основные свойства двойного интеграла
- •4.4.Вычисление двойного интеграла
- •4.5. Приложения двойного интеграла
- •Статические моменты и центр тяжести плоской фигуры
- •4.6. Тройной интеграл. Основные понятия
- •4.7. Вычисление тройного интеграла.
- •4.8. Приложения тройного интеграла
- •V. Числовые ряды
- •5.1. Основные понятия
- •5.2. Необходимый признак сходимости числового ряда
- •5.3. Достаточные признаки сходимости знакопостоянных рядов
- •5.4. Признак Даламбера
- •5.5. Радикальный признак Коши
- •5.6. Интегральный признак Коши. Обобщенный гармонический ряд
- •5.7. Знакочередующиеся и знакопеременные ряды Признак Лейбница
- •5.8. Абсолютная и условная сходимость числовых рядов
- •Степенные ряды
- •1 Функциональные ряды
- •1.1 Основные понятия
- •2. Некоторые приложения степенных рядов
- •2.1. Приближенное вычисление значений функций
- •2.2. Приближенное вычисление определенных интегралов
- •VII Ряды Фурье
- •7.1. Основные понятия
- •7.2. Тригонометрический ряд Фурье
- •7.3 Разложение в ряд Фурье 2π-периодических функций. Теорема Дирихле
- •7.4. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций
- •7.5. Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода
- •VIII. Дифференциальные уравнения (д.У.)
- •8.1. Общие сведения на основании понятия о д.У.
- •8.2. Дифференциальное уравнение первого порядка
- •8.3.Дифференциальные уравнения высших порядков
- •1.Решение путем понижения порядка уравнения.
- •2.Линейные дифференциальные уравнения высших порядков.
- •8.4. Решение ду второго порядка с постоянными коэффициентами.
- •1.Решение лоду второго порядка с постоянными коэффициентами.
- •2. Решение лоду n –го порядка с постоянными коэффициентами.
- •Линейные неоднородные дифференциальные уравнения (лнду)
- •1.Структура общего решения лнду второго порядка.
- •2.Метод вариации произвольных постоянных.
- •3.Решение лнду второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.
- •4.Решение лнду n- го порядка с постоянными коэффициентами и правой специальной частью.
- •Системы дифференциальных уравнений
- •Решение нормальных систем.
- •2.Системы линейных ду с постоянными коэффициентами.
6.Модель Леонтьева многоотраслевой экономики
Экономика многоотраслевого хозяйства требует баланса между отдельными отраслями. Каждая отрасль является с одной стороны производителем, а с другой потребителем продукции выпускаемой другими отраслями. Возникает задача расчета связи между отраслями через выпуск и потребление продукции разного вида. Впервые эта задача была сформулирована Леонтьевым (американец русского происхождения) в годы экономической депрессии.
Рассмотрим п – отраслей, каждая из которых производит один вид продукции. Рассмотрим производства за определенный период времени (1 год).
Введем следующие обозначения:
xi – общий объем продукции i – отросли
xij – объем продукции i – отрасли потребляемой j – отраслью при производстве объема продукции xj
yi – объем продукции i – отрасли предназначенный для реализации в непроизводственной сфере (так называемый продукт конечного потребления).
Балансовый принцип связи различных отраслей можно записать в виде:
, i=1,n
Это уравнение называется соотношением баланса. Введем так называемые коэффициенты прямых затрат:
,
Они показывают затраты продукции i – отросли на производство единицы продукции j – отросли.
Леонтьевым на основании изучения экономики США было установлено, что в течении достаточно длительного времени величина аij меняется крайне незначительно и могут рассматриваться как постоянные числа. Это означает наличие линейной зависимости материальных затрат от валового производства т.е.
,
Тогда уравнение соотношения баланса можно записать в виде системы уравнений.
Если обозначим:
X=, A= и Y=
Где Х – вектор валового продукта, Y – вектор конечного продукта, А – матрица затрат. тогда нашу систему можно записать в матричной форме: Х=АХ +Y и основная задача межотраслевого баланса будет состоять в отыскании такого вектора валового выпуска Х, который при известной матрице прямых затрат А обеспечивает заданный вектор конечного продукта Y.
Последнее уравнение имеет следующую особенность. Все элементы матрицы А и векторов X и Y должны быть > 0. Это вытекает из особенностей прикладного характера рассматриваемой задачи.
Продуктивные модели Леонтьева
Матрица А все элементы которой неотрицательны называется продуктивной если для любого вектора Y с неотрицательными компонентами существует решение уравнения баланса причем все элементы вектора Х > 0. В таком случае модель Леонтьева называется продуктивной.
Существует математическая теория исследования и решения уравнения баланса. Не вдаваясь в подробности, остановимся на некоторых основных моментах.
Теорема. Если для матрицы А с положительными элементами и вектора Y с положительными компонентами уравнение баланса имеет решение Х с положительными компонентами, то А – продуктивна. Иными словами достаточно установить наличие положительного решения уравнения баланса хотя бы для одного значения вектора Y, чтобы матрица А была продуктивна. Перепишем уравнение баланса с использованием единичной матрицы в виде:
Если существует обратная матрица (Е –А)-1, то существует и единственное решение этого уравнения.
(1)
Матрица (Е –А)-1 – называется матрицей полных затрат.
Существует несколько критериев продуктивности матрицы А. Один из них говорит, что А продуктивна, если сумма её элементов по любому её столбцу (строк) не превосходит единицы:
и существует номер j, что
Выясним экономический смысл матрицы полных затрат S = (Е –А)-1, для чего зададимся единичными векторами конечного продукта Y1(1,0,0,0…0), Y2(0,1…0),..Yn(0,…1) тогда по (1) соответствующие вектора валового продукта будут:
, ,
Следовательно, каждый элемент Sij матрицы S есть величина валового выпуска продукции i – отрасли, необходимого для обеспечения выпуска единицы конечного продукта j – ой отросли Yj = 1 (j = 1,n).