§ 2. Влияние школьных, методов обучения арифметике в XIX— начале XX в. На развитие методики формирования элементарных математических представлений у детей

Становление методики формирования элементарных математичес­ких представлений в XIX—начале XX в. происходило под непосредственным воздействием основных идей школьных методов обучения арифметике.

В то время единой методики преподавания арифметики не существовало. Шла длительная борьба между двумя направлениями, с одним из которых связан так называемый метод изучения чисел, или монографический, а с другим — метод изучения действий, который называли вычислительным.

Согласно методу изучения чисел в разработке немецкого методиста А. В. Грубе преподавание арифметики должно идти (в пределах 100) от числа к числу. Каждое из этих чисел, якобы доступное «непосредственному созерцанию», сравнивается с каждым из предыдущих чисел путем установления между ними разностного и кратного отношения. Действия должны как бы сами вытекать из знания наи­зусть состава чисел. Монографический метод получил определение метода, описывающего число.

В процессе изучения каждого числа материалом для счета слу­жили пальцы на руках, штрихи на доске или в тетради, палочки. Например, при изучении числа 6 предлагалось разложить палочки по одной. Задавались вопросы: «Из скольких палочек составилось наше число? Отсчитайте по одной палочке, чтобы получилось шесть. Во сколько раз шесть больше одного? Какую часть шести со­ставляет одна палочка? Сколько раз одна палочка заключается в шести?» И т. д. Потом изучаемое число точно так же сравнивалось с числом 2, предлагалось разложить шесть палочек по две и отвечать на вопросы: «Сколько двоек в шести? Сколько раз два содержится в шести?» И т. д. Так данное число сравнивалось со всеми пред­шествующими (3, 4, 5). После каждой группы таких упражнений действия записывались в виде таблицы, результаты которой заучи­вались наизусть, с тем чтобы в дальнейшем по памяти производить все арифметические действия, не прибегая к вычислениям.

В 90-х годах под влиянием критики монографический метод обучения арифметике был несколько видоизменен немецким дидактом и психологом, В. А. Лаем. Книга В. А. Лая «Руководство к первоначальному обучению арифметике, основанное на результатах дидак­тических опытов» была переведена на русский язык.

Как же происходило обучение по Лаю? Детям показывали числовую фигуру. Они ее рассматривали, а затем описывали с закрытыми глазами расположение точек. Например, фигура, обозначающая число 4: один кружок — в левом верхнем углу, один кружок — в левом нижнем углу, один кружок — в правом верхнем углу и один кру­жок — в правом нижнем углу. В. А. Лай считал, что, чем отчетливее, яснее и живее наблюдение вещей, тем отчетливее, яснее и живее возникают числовые представления. За описанием следует зарисовка данной, числовой фигуры и составление ее на счетах.

После работы над образом числа дети переходили к изучению его состава. Педагог закрывал три кружка из четырех (дети воспринимали один верхний левый), затем он закрывал и этот кружок, а первые три открывал или закрывал два кружка. Результаты каждого действия описывались и объяснялись: один да три будет четыре; три и один будет четыре; два и два будет четыре. После этого на изученный состав числа 4 решались задачи. Ответ давался без вычислений, на основе запоминания состава числа.

По этому методу дети воспринимали и запоминали числа, пред­лагаемые им в виде квадратных числовых фигур. Последовательность обучения по монографическому методу состояла в следующем:

а) описание, наблюдение и составление некоторой числовой фигуры;

б) изучение состава числа и запоминание числа;

в) упражнение в арифметических действиях.

Однако уже в 70-х годах XIX в. стали появляться противники монографического метода. В 1874 г., в журнале «Отечественные записки» (№ 9) критике его подвёрг Л. Н. Толстой. «В этих немецких приемах, — писал он в статье «О народном образовании»,— была еще и та большая выгода для учителей... что при них учителю не нужно... работать над собою и правилами обучения. Большую часть времени по этой методе учитель учит тому, что дети знают, да, кроме тот, учит, но руководству, и ему легко».

Недовольство методом все более нарастало, и в 80—90-х годах целая плеяда русских математиков выступила с его резкой критикой, противопоставляя ему метод изучения действий, или, иначе, вычислительный метод.

В чем же русские математики видели недостатки монографиче­ского метода? Во-первых, критиковалось исходное положение метода, согласно которому число в пределах 100 можно якобы наглядно представить себе как группу единиц. Такой способности не существует, говорили критики. Мы наглядно можем представить себе группу из двух — четырех предметов. А при большем количестве всегда прихо­дится прибегать к счету. Поэтому изучать числа и их состав пу­тем разложения числа бессмысленно. В пределах 100 таких раз­ложений свыше 5000, запомнить которые невозможно. Во-вторых, монографический метод критиковали за томительную скуку и крайнее однообразие приемов обучения, при котором дети не осмысливали значения каждого арифметического действия, не дифференцировали их: обучение сводилось лишь к тренировке памяти и определенных навыков. Механическое заучивание начал арифметики при однообра­зии методических приемов отбивало желание у учащихся заниматься дальше.

Несмотря на критику монографического метода, непризнание его в русских школах, поклонник этого метода Д. Л. Волковский издал книгу «Детский мир в числах» (1912). Книга иллюстрировалась числовыми фигурами В. А. Лая, карточками и чертежами. Она была предназначена не только для начальной школы, но и для приготовительных классов женских гимназий, детских садов и до­машнего обучения. Монографический метод проник в детский сад, и по нему сравнительно долго (вплоть до настоящего времени) строилось обучение детей счету.

Другой метод — метод изучения действий (вычислительный) — предполагает научить детей не только вычислять, но и понимать смысл этих действий, основу десятичного исчисления. Обучение при этом строится по десятичным концентрам. В пределах каждого кон­центра изучаются не отдельные числа, а счет и действия.

Для обоснования двух методических течений были выдвинуты две психологические теории — теория восприятия групп предметов и теория счёта. Каждая из этих теорий пыталась решить вопрос о том, что изначально: число или счет. Сторонники теории восприятия утверждали, что ребенку свойственна способность охватывать множество как единое пространственно организованное целое, не считая его, и поэтому они поддерживали монографический метод обу­чения.

Представители другой теории утверждали, что врожденным качеством является восприятие не одного числа, а последовательности «чисел во времени, т. е. натурального ряда чисел, в силу чего ребенок, считая, умеет называть числительные по порядку, а определить их общее количество (сколько всего), не может. Как видно, представители обеих психологических теорий стояли на идеалистических позициях и спорили лишь о том, что является изначально данным: число или последовательность чисел.

Однако оба метода (и монографический и вычислительный) сыграли положительную роль в дальнейшем развитии современной ме­тодики, которая вобрала в себя отдельные позитивные моменты: приемы, упражнения, дидактические средства (числовые фигуры) одного и другого метода, но базируется на материалистическом пони­мании происхождения всех математических понятий. Понятия («число», «счет», «геометрическая фигура», «измерение» и многие другие) возникали и развивались в процессе разнообразной дея­тельности человека по изучению материального мира.

Усвоение и осмысление математических понятий детьми осуще­ствляется в процессе овладения ими общественно-историческим опы­том, по мере развития и приобретения чувственного опыта. В дей­ствиях с множествами предметов, при сравнении одних предметов с «другими, их счете и измерении познаются количественные, прост­ранственные и временные отношения.