147

Раздел III. Теория вероятностей и математическая статискика Лекция 17. Основные понятия теории вероятностей

17.1. Введение. Предмет теории вероятностей

Для изучение физических явлений производят наблюдения или опыты. Их результаты регистрируют и обнаруживают разброс или отклонение от некоторой средней величины. Последние называют случайными в том смысле, что сколько раз мы ни повторяли изменения, мы не можем заранее точно предсказать результат следующего.

В ряде задач этими случайными элементами пренебрегают, рассматривая упрощенную схему, «модель». К полученной модели применяют тот или иной математический аппарат (например, составляются и решаются дифференциальных уравнения) и тем самым выявляют основную закономерность, свойственную данному явлению. При таком подходе к решению задачи применяют Детерминированные (определенные) методы, методы точных наук. Однако, для решения ряда задач описанная схема не годится. Существуют задачи, где интересующий нас исход зависит от столь большого числа факторов, что практически невозможно все их учесть.

Теория вероятностей - математическая наука, изучающая те закономерности случайных явлений, которые наблюдаются при массовом повторении однородных опытов. Ее предметом являются специфические закономерности, наблюдаемые в массовых случайных явлениях.

17.2. Краткий исторический очерк

Возникновение теории вероятностей относится к середине XVII века и связано с именами Гюйгенса, Паскаля, Ферма и Якова Бернулли. Вызвано появление этой теории азартными играми (игра в кости, в рулетку (Монте-Карло)). Позже вопросы страхования и демографии также доставляли конкретный материал для создания понятий и методов теории вероятностей.

Ученые были убеждены, что на базе массовых случайных событий могут возникать четкие закономерности. Значительную роль в развитии аналитических методов теории вероятностей сыграли Муавр, Лаплас, Гаусс, Пуассон, Николай Иванович Лобачевский. Лобачевский в частности развивал теорию вероятностей в применении к теории ошибок при измерениях на сфере (неевклидова геометрия).

С половины XIX века до 20^х годов ХХ в. наибольший вклад в развитие теории вероятностей внесли русские ученые: Пафнутий Львович Чебышев, Александр Александрович Марков, Александр Михайлович Ляпунов, Буняковский. (Первый в России курс теории вероятностей написал Буняковский). Последующее развитие обязано, в первую очередь, русским и советским ученым: С.Н. Бернштейну, В.И. Романовскому, А.Н. Колмогорову, А.Я. Хинчину, Б.В. Гнеденко, Н.В. Смирнову и др. Интерес к теории вероятностей и математической статистике в настоящее время очень широк. На их базе возникла целая серия новых наук. См. таблицу. Сейчас, пожалуй, нет области знания, в которой не использовались бы методы теории вероятностей. Применение вероятностно-статистических методов стало традиционным во многих науках: в физике, геодезии, теории измерений, химии, медицине, биологии, лингвистике, экономике и т. д.

17.3. Случайное событие. Его частота

Предварительно введем понятие опыта и события.

Под опытом понимается воспроизведение того или иного комплекса условий S (причем предполагается, что комплекс условий можно воспроизвести сколько угодно много раз).

Событием в опыте S называется любой факт, который в результате опыта S может произойти или не произойти.

Различают три основных вида событий.

Событие V называется невозможным в опыте S, если оно заведомо не произойдет при осуществлении комплекса условий опыта S.

Событие U называется достоверным в опыте S, если оно обязательно произойдет в результате этого опыта.

Событие называется случайным в опыте S, если может произойти, а может и не произойти в результате этого опыта.

Случайные события будем обозначать А, В, С, ... .

Пример 1. Опыт S:бросание игральной кости. Событие V- выпадение 7 очков - невозможное. Событие U - выпадение не более 6 очков - достоверное. Событие А - выпадение 3-х очков - случайное.

Пример 2. Вода содержится в сосуде при нормальном давлении и t=20С^о. Событие - вода в сосуде находится в жидком состоянии - достоверное. Событие - вода в сосуде находится в твердом состоянии - невозможное.

Поскольку в теории вероятностей рассматриваются только случайные события, то слово «Случайное» опускают и говорят просто «событие».

События называют несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же опыте, в противоположном случае они называются совместными.

Например, из ящика с деталями извлекается деталь. Появление стандартной детали исключает появление не стандартной.

События называют единственно возможными, если появление, в результате испытания, одного и только одного из них является достоверным событием.

Пример 3. Пусть имеются два билета денежно-вещевой лотереи. Произойдет одно и только одно из следующих событий: «выигрыш выпал на первый билет и не выпал на второй», «выигрыш не выпал на первый билет и выпал на второй», «выигрыш выпал на оба билета», «на оба билета выигрыш не выпал».

События называются равновозможными (равносильными), если есть основания считать, что ни одно из этих событий не является более возможным, чем другие.

Например, появление того или иного числа очков при брошенной игральной кости события равновозможные.

Говоря, что случайные события образуют полную группу, если при испытании обязательно появляется хотя бы одно из них. События, образующие полную группу равновозможных, несовместимых случайных событий, называются случаями (или шансами). Каждое событие, которое может наступить в испытании, называется элементарным исходом. Те элементарные исходы, при которых интересующее нас событие наступает, называют благоприятствующими этому событию. Одним из важнейших понятий является понятие частоты события.

Определение 1. Относительной частотой р^* или частностью случайного события называется отношение числа m^* появление данного события к общему числу n^* проведенных одинаковых испытаний, в каждом могло появиться и не появиться данное событие А.

Пример: Имеем 4 серии выстрелов:

в 1^ой было 10 выстрелов, число попаданий 6

в 2^ой было 5 выстрелов, число попаданий 2

в 3^ой было 12 выстрелов, число попаданий 7

в 4^ой было 50 выстрелов, число попаданий 27

в 5^ой было 100 выстрелов, число попаданий 49

в 6^ой было 200 выстрелов, число попаданий 102

Событие А - попадание в цель.

Относительные частоты попадания будут:

Если число испытаний в каждой серии практически не велико, то относительные частоты события А в каждой серии значительно отличаются одна от другой. Если же n^* велико, то р^* в различных сериях отличаются друг от друга мало, и это отличие тем меньше, чем больше испытаний в сериях. Говорят, что относительная частота р^* при большом числе испытаний все более перестает носить случайный характер и обнаруживает свойство устойчивости.

Пример: S - бросание монеты. Обозначим А - выпадение герба, n^* - число бросаний монеты, m^* - число выпадений герба. Результаты этого опыта, полученные Бюффоном и К. Пирсоном (он повторил свои испытания дважды), сведем в таблицу.

	n^*	m^*	р^* (А)
Бюффон	4040	2048	0,5080
К. Пирсон	12000	6019	0,5016
К. Пирсон	24000	12012	0,5005

Опыт показывает, что в подавляющем большинстве случаев существует постоянное число р такое, что относительные частоты р^*(А) появления события А при большом числе испытаний, кроме редких случаев, мало отличаются от этого числа р. Это устойчивое число р называется вероятностью события А обозначается р(А)=р. Вероятность р(А), как устойчивая частота показывает, как часто в среднем появляется событие А при большом числе n опытов S.

Например, р(А)= обозначает, что при большом числе опытов в среднем на каждые 5 опытов событие А появляется 3 раза. Вероятность р(А) есть численная мера объективной возможности появления события А. Частоту р^*(А) при большом n называют статистической вероятностью.