Лекция 18. Алгебра событий. Основные теоремы теории вероятностей

Классическое определение вероятности событий применимо лишь для элементарных событий. Определение вероятности более сложных событий требует введения операций над событиями. Рассмотрим также теоремы, позволяющие вычислить вероятности однородных событий по вероятностям других событий.

18.1. Алгебра событий

События А и В называются равными в опыте S, если при повторении опыта S они появляются или не появляются совместно.

Суммой двух событий А и В в опыте S называют событие С, состоящее в появлении события А, или события В, или обоих этих событий С=А+В

Суммой нескольких событий называют событие С, которое состоит в появлении хотя бы одного из этих событий.

Разностью А\В двух событий А и В называют событие С, которое состоит в появлении события А и не появлении события В.

Произведением событий А и В называют событие С, состоящее в совместном появлении (совмещении) этих событий или С=АВ или С=АВ.

События А и В называют несовместимыми в опыте S, если в результате этого опыта они не могут произойти одновременно.

Пример 1. Если события А₁, А₂, А₃ - сдать экзамен на 5, 4, 3 соответственно, то событие А₁+А₂ - сдать экзамен на повышенную оценку, А₁,+ А₂,+ А₃ - сдать экзамен вообще, А₁, А₂, А₃ - несовместные события.

Пример 2. Если А₁, А₂, А₃ - сдать I, II, III экзамен, то А₁, А₂, А₃ - сдать все три экзамена. А₁, А₂, А₃ - совместные события. А  V=V, где V - невозможное событие A  И=A, где И - достоверное событие A A=A.

События А₁, А₂, ..., А_n называются попарно несовместимыми, если каждые два из них несовместны.

18.2. Теорема сложения вероятностей

Теорема. Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: Р (А+В)=Р (А)+Р (В)

Доказательство: Обозначим: n - общее число возможных элементарных исходов испытания;

m₁ - число исходов, благоприятствующих событию А;

m₂ - число исходов, благоприятствующих событию В.

Число элементарных исходов, благоприятствующих наступлению события А, либо В, равно m₁+m₂

Следовательно,

Учитывая, что ; , окончательно получим:

Р (А+В)=Р (А)+Р (В)

Следствие. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

Р (А₁+А₂+...+А_n)=Р (А₁)+Р (А₂)+...+Р (А_n).

18.3. Полная группа событий. Противоположные события

Полной группой событий в опыте S называется группа событий А₁+ А₂+ ...+А_n, если в результате этого опыта хотя бы одно из них обязательно произойдет, т.е. А₁+А₂+...+А_n=И (достоверное событие)

Р (А₁+А₂+...+А_n)=Р (И)=1

Вероятность суммы событий, образующих полную группу, равна 1. Если к тому же эти события не совместимы, то по теореме сложения Р (А₁)+Р (А₂)+...+Р (А_n)=1

Если полная группа несовместимых событий состоит только из двух событий, то они называются противоположными и обозначаются А и А (не А).

Р (А)+Р (А)=1, т.е. Р (А)=1–Р (А) и Р (А)=1- Р (А)

Пример. На складе находится 60 деталей, изготовленных тремя бригадами. Из них 34 изготовлено первой бригадой, 12 - второй, 14 - третьей. Определить вероятность поступления на сборку детали, изготовленной второй или третьей бригадой (событие А).

Решение. Пусть А₁, А₂, А₃ - появление на сборке детали, изготовленной 1-й, 2-й, 3-й бригадой соответственно.

I способ: вероятность поступления на сборку детали, изготовленной 2-й бригадой. вероятность поступления на сборку детали изготовленной 3-й бригадой. События не совместны Р (А)=Р (А₂)+Р (А₃)= .

II способ: - А₁, А₂, А₃ - полная группа несовместимых событий, т.е. Р (А₁)+Р (А₂)+Р (А₃)=1 или Р (А₁)+Р (А₂+А₃)=1 т.е. событие А₁ противоположно событию А₂+А₃,,

т.е. А₁=А₂+А₃, Р(А₁)= , Р(А₁)=1–

Итак, Р(А₂+А₃)= .