17. 4. Классическое определение вероятности. Непосредственный подсчет вероятностей.

Пусть в урне 6 одинаковых и тщательно перемешанных шаров, причем 2 - красные, 3 - синие, 1 - белый. Очевидно, возможность вынуть на удачу из урны цветной шар больше, чем белый. Дадим количественную оценку возможности того, что взятый наудачу шар будет цветным. Пусть появление цветного шара - событие А. Испытание - извлечение шара из урны. Элементарных исходов 6: Е₁- появляется белый шар, Е₂, Е₃- красный, Е₄, Е₅, Е₆ - появится синий шар. Легко видеть, что эти исходы единственно возможны (обязательно появится один шар) и равновозможны (все шары одинаковы и перемешаны). В примере благоприятствуют событию А 5 исходов Е₂, Е₃, Е₄, Е₅, Е₆.

Определение 2. Вероятность события А называется отношение числа m благоприятствующих этому событию исходов к общему числу n всех единственно возможных и равновозможных элементарных исходов испытания.

Р (А)=

В рассмотренном примере Р (А)= .

Из определения вероятности вытекают следующие ее свойства:

1. Вероятность достоверного события=1.

2. Вероятность невозможного события равна нулю. В этом случае m=0 и р(А)= =0.

3. Вероятность случайного события есть положительное число, причем

0<р(А)<1.

Действительно, случайному событию благоприятствует лишь часть исходов испытания, т.е. 0<m<n, а значит 0< <1, т.е. 0<р(А)<1.

Итак, вероятность любого события удовлетворяет неравенству 0  р(А)  1.

Пример 1. Куб, все грани которого обработаны, распилен на 512 кубиков одинакового размера. Полученные кубики тщательно перемешаны.

Определить вероятность того, что кубик, извлеченный наудачу, будет иметь две обработанные поверхности.

Решение. n=512. Куб имеет 12 ребер, на каждом из каждом из которых уменьшается по 6 кубиков, имеющих по две обработанных грани, т.е. m=126=72

р(А)= , где А - событие: кубик, извлеченный наудачу имеет две обработанных грани.

«Классическое» определение вероятности предполагает, что число элементарных исходов испытания - конечно. На практике весьма часто встречаются испытания, число исходов которых бесконечно. В таких случаях классическое определение неприменимо. Наиболее слабая сторона «классического» определения состоит в том, что очень часто результат испытания нельзя представить в виде совокупности элементарных исходов, да еще равновозможными. По этим причинам наряду с классическим определением вероятности пользуются также статистическим определением вероятности, принимая за вероятность (как говорилось выше) относительную частоту появления события или число, близкое к ней. Сопоставляя классическое определение вероятности с относительной частотой (статистической вероятностью), заключаем: классическое определение вероятности не требует, чтобы испытания проводились в действительности, определение же относительной частоты предполагает, что испытания были проведены фактически.

Соединения.

Перестановками из n элементов называются соединения, отличающиеся только порядком элементов. Число перестановок вычисляется по формуле:

Р_n=123 ...n=n!

Размещениями из n элементов по m элементов называются такие соединения, которые различаются друг от друга либо самими элементами либо их порядком. Число размещений вычисляется по формуле:

Сочетаниями из n элементов по m элементов называются их соединения, различающиеся друг от друга только элементами. Число сочетаний вычисляется по формуле:

Пример 2. Пусть имеется три элемента: а, в, с.

Перестановки из 3-х элементов: авс, вса, сав, асв, вас, сва. Их число р₃=3!=6. Размещения из 3-х элементов по 2: ав, ас, ва, са, вс, св. Их число . Сочетания из 3-х элементов по 2: ав, ас, са. Их число .

Пример 3. В партии из 20 деталей 3 бракованных. Определить вероятность того, что среди выбранных на удачу для проверки 5 изделий 2 окажутся бракованными.

Решение. Число возможных способов взять 5 деталей из 20-ти равно n= .

Благоприятствующими тому, что среди взятых 5 деталей 2 будут бракованными, а 3 не бракованными, будут случаи, число которых будет равно m=

Следовательно, .