- •Раздел III. Теория вероятностей и математическая статискика Лекция 17. Основные понятия теории вероятностей
- •17.1. Введение. Предмет теории вероятностей
- •17.2. Краткий исторический очерк
- •17.3. Случайное событие. Его частота
- •17. 4. Классическое определение вероятности. Непосредственный подсчет вероятностей.
- •Лекция 18. Алгебра событий. Основные теоремы теории вероятностей
- •18.1. Алгебра событий
- •18.2. Теорема сложения вероятностей
- •18.3. Полная группа событий. Противоположные события
- •18.4. Теорема умножения вероятностей Независимые и зависимые события.
- •18.5. Теорема умножения вероятностей независимых событий
- •18.6. Условная вероятность
- •18.7. Теорема умножения вероятностей зависимых событий
- •Лекция 19. Основные теоремы теории вероятностей (продолжение)
- •19.1. Теорема сложения вероятностей совместных событий
- •19. 2. Формула полной вероятности
- •19.3. Формулы Бейеса (формулы переоценки вероятностей гипотез)
- •19. 4. Повторение испытаний. Формула Бернулли
- •Лекция 20. Случайные величины и их законы распределения
- •20.1. Дискретные и непрерывные случайные величины
- •Понятие закона распределения вероятностей дискретной случайной величины
- •20. 3. Биноминальное распределение
- •20. 4. Распределение Пуассона
- •20. 5. Простейший пуассоновский поток событий
- •21.2. Математическое ожидание и его основные свойства
- •21.3. Дисперсия дискретной случайной величины
- •21.4. Среднее квадратическое отклонение
- •21.5. Свойства дисперсии
- •21. 6. Понятие о моментах распределения
- •21.7. Определение интегральной функции распределения
- •21.8. Свойство интегральной функции
- •21.9. График интегральной функции
- •22.2. Вероятность попадания непрерывной случайной
- •22.3. Нахождение интегральной функции распределения по известной дифференциальной
- •22.4. Свойства дифференциальной функции. Ее вероятностный смысл
- •22.5. Математическое ожидание. Дисперсия. Среднее квадратическое отклонение
- •22.6. Начальные и центральные моменты
- •22.7. Коэффициент асимметрии
- •22.8. Эксцесс
- •22.9. Мода. Медиана
- •Лекция 23. Законы распределения непрерывной случайной величины
- •Закон равномерного распределения или закон равномерной плотности
- •23.2. Нормальное распределение
- •23.3. Вероятность попадания случайной величины, подчиненной нормальному закону, на интервал [
- •23.4. Правило трех сигм
- •Лекция 24. Система случайных величин
- •24.1. Понятие о системе случайных величин
- •24.2. Закон распределения вероятностей дискретной двумерной случайной величины
- •24.3. Интегральная и дифференциальная функция распределения двумерной случайной величины и их свойства
- •24.4. Условные законы распределения составляющих системы дискретных случайных величин
- •24.5. Числовые характеристики системы двух случайных величин
- •24.6. Коррелированность и зависимость случайных величин
- •Лекция 25. Предельные теоремы
- •25.1. Закон больших чисел
- •25.2. Теорема Чебышева
- •25.3. Теорема Бернулли
- •25.4. Центральная предельная теорема
22.2. Вероятность попадания непрерывной случайной
величины в заданный интервал
Теорема. Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значения, принадлежащие интервалу [a, b], равна определенному интегралу от дифференциальной функции, взятому в пределах от а до b:
Р (a<X<b)=
Доказательство: Ранее доказали, что
Р (a X<b)=F(b)–F(a).
По формуле Ньютона - Лейбница F(b)–F(a)= =
известно также, что Р (a X<b)=Р (a<X<b)
Следовательно,
Р (a<X<b)= (22.1)
Что и требовалось доказать.
Геометрически полученный результат можно истолковать так: вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее - интервалу [a, b], равно площади криволинейной функции распределения, осью ОХ, прямыми х=а, х=b (рис. 22.1).
Рис. 22.1
22.3. Нахождение интегральной функции распределения по известной дифференциальной
Зная дифференциальную функцию f(х), можно найти интегральную функцию F(х) по формуле: F(х)=
Действительно, F(х)=Р (Х<х), или, F(х)=Р (-<Х<х).
По формуле (22.1.) предыдущего раздела приняв а=-, b=х, получим:
Р (-<Х<х)= , или F(х)=
Геометрически связь f(х) и F(х) можно пояснить рисунком 22.2.
Рис. 22.2.
Пример. Найти интегральную функцию по данной дифференциальной функции:
Определить Р(2<Х<3).
Р (2<Х<3)= , или через интегральную функцию Р (2<Х<3)=F(3)–F(2)=
Замечание. График дифференциальной функции называют кривой распределения.
22.4. Свойства дифференциальной функции. Ее вероятностный смысл
Свойство 1. Дифференциальная функция неотрицательная f(х) 0
Доказательство. Интегральная функция F(х) -неубывающая, т.е. Но F`(х)=f(х), т.е. f(х) 0.
Свойство 2. Несобственный интеграл от дифференциальной функции в пределах от - до + равен единице:
Доказательство. выражает собой вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале . Такое событие достоверно, и его вероятность равна 1. Что и требовалось доказать.
Геометрически это означает, что вся площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью Ох и дифференциальной кривой распределения, равна 1.
В частности, если все возможные значения случайной величины, расположены на, то =1.
Рассмотрим вероятностный смысл дифференциальной функции распределения f(х)=F`(х), т.е. f(х)= F(x+x)–F(x) - вероятность, того, что х<X<x+х.
По аналогии с определением плотности массы в точке значения функции f(х) можно рассматривать как плотность вероятности в этой точке.
Если масса непрерывно распределена вдоль оси Ох по закону F(х), плотностью массы р(х) в точке х называют = р(х)
Поэтому часто, вместо термина «дифференциальная функция распределения», употребляют термин «плотность вероятности».
Т.к. х=dx и F`(x)=f(x), то можно записать F(х+x)–F(x) f(x)dx.
Вероятностный смысл этого неравенства таков: вероятность того, что случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу , приближенно равна (с точностью до бесконечно малых низшего порядка относительно х) площади прямоугольника с основанием х и высотой f(х) (рис. 22.3).
Рис. 22.3