Лекция 20. Случайные величины и их законы распределения

20.1. Дискретные и непрерывные случайные величины

Определение 1. Случайной называют величину, принимающую в результате испытания одно и только одно из возможных значений, наперед не известных и зависящих от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены. Ниже укажем способы, с помощью которых случайные величины могут быть описаны.

Пример 1. Бросание игральной кости. Х: 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Число очков Х - случайная величина, 1, 2,..., 6 - возможные значения этой величины.

Пример 2. Число солнечных дней в марте - случайная величина, которая имеет следующие возможные значения: 0, 1, 2,..., 31.

Пример 3. Расстояние, которое пролетит снаряд при выстреле из орудия, есть случайная величина. Возможные значения этой величины занимают некоторый промежуток [a,b].

Пример 4. Скорость молекулы газа не остается неизменной, а меняется от столкновения с другими молекулами. Ввиду того, что каждая молекула может столкнуться, либо не столкнуться с каждой другой молекулой газа, изменение ее скорости носит чисто случайных характер.

Пример 5. Вес зерен пшеницы, выращенных на некотором участке, не равен некоторой определенной величине, а меняется от одного зерна к другому. В силу невозможности учесть влияние всех факторов (качества участка почвы, на котором вырос колос с данным зерном, условия освещения зерна, водных режим и пр.), определяющих рост зерна, его вес определяется величиной, меняющейся в зависимости от случая. Но можно задать приблизительно [a, b], в котором располагаются значения веса каждого из зерен.

Будем обозначать случайные величины X, Y, Z, ..., а их возможные значения - x, y, z, ...

Существуют два типа случайных величин: дискретные и непрерывные.

В примере 1. Случайная величина принимает значения 1, 2, ..., 6.

В примере 2. Случайная величина могла принять значения 0, 1, ..., 31.

Эти значения определены одно от другого промежутками, в которых нет возможных значений Х. Таким образом, в этих примерах случайная величина Х принимает отдельные, изолированные значения

В 3-ем, 4-ом, 5-ом примерах случайные величины принимают любое значение из [a,b]. Здесь нельзя отделить одно возможное значение от другого.

Эти примеры показывают целесообразность различия типов величин.

Определение 2. Непрерывной случайной величиной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого промежутка конечного или бесконечного.

2. Понятие закона распределения вероятностей дискретной случайной величины

Может показаться, что для задания дискретной случайной величины достаточно перечислить все ее возможные значения. Но случайная величина может принимать различные значения с различной вероятностью. Поэтому для задания (описания) случайной величины нужно задать не только ее возможные значения, но вероятности, с которыми принимается то или иное значение случайной величины. Дискретная случайная величина задается законом распределения вероятностей, а встречная случайная величина - функцией распределения вероятностей.

Определение 3. Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями. Его можно задать таблично, графически и аналитически.

При табличном задании закона распределения дискретной случайной величины Х первая строка таблицы содержит возможные значения, а вторая их вероятности:

Х	х1	х2	...	хn
Р	р1	р2	...	рn

Такая таблица называется рядом распределения случайной величины.

Приняв во внимание, что в одном испытании случайная величина принимает одно и только одно из случайных возможных значений, заключаем, что события:

Х=х₁, Х=х₂, ..., Х=х_n, образуют полную группу, а следовательно,

р₁+р₂+...+р_n=1.

В целях наглядности закон распределения дискретной случайной величины можно изобразить графически. В прямоугольной системе координат строят точки (x_i, p_i) и соединяют их отрезками прямых.

Полученную фигуру называют многоугольником распределения.

Значение случайной величины М₀, имеющее наибольшую вероятность, называется модой.

Пример: В денежной лотереи выпущено 100 билетов. Разыгрывается один выигрыш в 50 руб. и 10 выигрышей по 1 руб. Найти закон распределения случайной величины Х - стоимости возможного выигрыша для владельца одного лотерейного билета.

Запишем возможные значения Х:

х₁=50; х₂=1; х₃=0. Вероятность этих значений:

р₁=0,01; р₂=0,1; р₃=1–(р₁+р₂)=0,89

Х	50	1	0
Р	0,01	0,1	0,89

Контроль: 0,01+0,1+0,89=1, т.к.