- •Раздел III. Теория вероятностей и математическая статискика Лекция 17. Основные понятия теории вероятностей
- •17.1. Введение. Предмет теории вероятностей
- •17.2. Краткий исторический очерк
- •17.3. Случайное событие. Его частота
- •17. 4. Классическое определение вероятности. Непосредственный подсчет вероятностей.
- •Лекция 18. Алгебра событий. Основные теоремы теории вероятностей
- •18.1. Алгебра событий
- •18.2. Теорема сложения вероятностей
- •18.3. Полная группа событий. Противоположные события
- •18.4. Теорема умножения вероятностей Независимые и зависимые события.
- •18.5. Теорема умножения вероятностей независимых событий
- •18.6. Условная вероятность
- •18.7. Теорема умножения вероятностей зависимых событий
- •Лекция 19. Основные теоремы теории вероятностей (продолжение)
- •19.1. Теорема сложения вероятностей совместных событий
- •19. 2. Формула полной вероятности
- •19.3. Формулы Бейеса (формулы переоценки вероятностей гипотез)
- •19. 4. Повторение испытаний. Формула Бернулли
- •Лекция 20. Случайные величины и их законы распределения
- •20.1. Дискретные и непрерывные случайные величины
- •Понятие закона распределения вероятностей дискретной случайной величины
- •20. 3. Биноминальное распределение
- •20. 4. Распределение Пуассона
- •20. 5. Простейший пуассоновский поток событий
- •21.2. Математическое ожидание и его основные свойства
- •21.3. Дисперсия дискретной случайной величины
- •21.4. Среднее квадратическое отклонение
- •21.5. Свойства дисперсии
- •21. 6. Понятие о моментах распределения
- •21.7. Определение интегральной функции распределения
- •21.8. Свойство интегральной функции
- •21.9. График интегральной функции
- •22.2. Вероятность попадания непрерывной случайной
- •22.3. Нахождение интегральной функции распределения по известной дифференциальной
- •22.4. Свойства дифференциальной функции. Ее вероятностный смысл
- •22.5. Математическое ожидание. Дисперсия. Среднее квадратическое отклонение
- •22.6. Начальные и центральные моменты
- •22.7. Коэффициент асимметрии
- •22.8. Эксцесс
- •22.9. Мода. Медиана
- •Лекция 23. Законы распределения непрерывной случайной величины
- •Закон равномерного распределения или закон равномерной плотности
- •23.2. Нормальное распределение
- •23.3. Вероятность попадания случайной величины, подчиненной нормальному закону, на интервал [
- •23.4. Правило трех сигм
- •Лекция 24. Система случайных величин
- •24.1. Понятие о системе случайных величин
- •24.2. Закон распределения вероятностей дискретной двумерной случайной величины
- •24.3. Интегральная и дифференциальная функция распределения двумерной случайной величины и их свойства
- •24.4. Условные законы распределения составляющих системы дискретных случайных величин
- •24.5. Числовые характеристики системы двух случайных величин
- •24.6. Коррелированность и зависимость случайных величин
- •Лекция 25. Предельные теоремы
- •25.1. Закон больших чисел
- •25.2. Теорема Чебышева
- •25.3. Теорема Бернулли
- •25.4. Центральная предельная теорема
25.2. Теорема Чебышева
Определение. Пусть Х1, Х2, ..., Хn={Xn} бесконечная последовательность случайных величин.
Говорят, что последовательность случайных величин {Xn} сходится по вероятности к величине Х (случайной или неслучайной, если для любого >0 имеем
Теорема Чебышева. Если Х1, Х2, ...., Хn - попарно независимые случайные величины, причем дисперсии их равномерно ограничены (не превышают постоянного числа С), то
т.е. среднее арифметическое этих величин сходится по вероятности к среднему арифметическому математических ожиданий.
Доказательство. Введем Х=
М =М = М (х1+х2+...+хn) = (М(х1)+ М(х2)+...+М(хn))
Равенство (26.4.) получено на основании свойств математического ожидания:
а) постоянный множитель выносится за знак математического ожидания;
б) математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий этих величин.
По условию Д (Х1) С, Д(Х2) С, ..., Д(Хn) С, т.е.
Д ( ) (с+с+...+с)= (25.5.)
Подставим (26.4.) и (26.5.) в неравенство Чебышева (26.1.), получим:
Р(| -М ( )|<)>1–
Переходя к пределу, будем иметь , ч. т. д.
Итак, среднее арифметическое достаточно большого числа случайных величин стремится по вероятности к постоянному (неслучайному) числу - среднему арифметическому математических ожиданий.
В частности, если М(Х1)=М(Х2)=...=М, (Хn)=а, то
(практически достоверное событие).
Отсюда следует практическое применение теоремы Чебышева.
Обычно для измерения некоторой физической величины производят несколько измерений и среднее арифметическое принимают за величину искомого размера.
При каких условиях этот способ измерения можно считать правильным?
По теореме Чебышева при условиях:
1) измерения попарно не зависимы,
2) имеют одно и тоже математическое ожидание,
3) дисперсии их равномерно ограничены.
25.3. Теорема Бернулли
Пусть производится n независимых испытаний., в каждом из которых вероятность появления события А равна р, тогда .
(То есть относительная частота появления события А в n испытаниях сходится по вероятности к постоянной величине р - вероятности события А при n ).
25.4. Центральная предельная теорема
Если закон больших чисел имеет дело со случайными величинами, то центральная теорема с их законами распределения (функциями).
Теорема Ляпунова (для случая одинаково распределенных слагаемых).
А. М. Ляпунов - русский математик, доказал эту теорему в 1900г. (1857-1918г.г.)
Если последовательность {Xк} состоит из независимых случайных величин Xк (к=1, 2, ...) имеющих один и тот же закон распределения (неважно какой) с математическим ожиданием mх и дисперсией Дх=х2, то закон распределения суммы У= приближено (тем точнее, тем больше n) равен нормальному закону с параметрами: а=n mх, =х Различные формы центральной предельной теоремы отличаются между собой условиями, накладываемыми на распределения слагаемых.
Сформулированная теорема Ляпунова предполагает одинаково распределенные слагаемые. Она может быть доказана и для неодинаково распределенных слагаемых. Но всегда предполагается, что исследуемая случайная величина Y может быть представлена в виде большого числа независимых (или слабо зависимых) слагаемых, каждое из которых в отдельности мало влияет на сумму. В практических задачах часто применяют центральную теорему для вычисления вероятностей того, что сумма нескольких случайных величин окажется в заданных пределах.
Пусть Х1, Х2, ..., Хn - независимые случайные величины с математическими ожиданиями m1, m2, ..., mn и дисперсиями Д1, Д2, ..., Дn.
И пусть условия центральной предельной теоремы выполнены.
Тогда вероятность того, что случайная величина Y= попадет в пределы заданного интервала выражается формулой
Р( Y )=Ф* –Ф* (25.6.)
где mу, у - математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение величины Y, Ф* - нормальная функция распределения, функция Лапласа
mу= (25.7.)
у= (25.8.)
Частным случаем центральной предельной теоремы для дискретных случайных величин является теорема Муавра-Лапласа, суть которой состоит в следующем.
Если производится n независимых опытов, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью р, то справедливо соотношение:
Р =Ф* ()–Ф* (), (25.9.)
где Y - число появлений события А в n опытах, g=1–р.
Из этой теоремы следует: если число испытаний велико и значения р не слишком близки к 0 и 1, то мы можем вероятности в биноминальном распределении вычислить по приближенной формуле (25.9.). Другими словами, нормальное распределение является предельным для биноминального.
При указанных условиях биноминальное распределение может быть заменено нормальным с параметрами my=np, у=
Формула (25.9.) в этом случае выглядит так:
Р (m1<X<m2) [Ф* (t2)–Ф* (t1)], где t1= , t2=
В частности, Р Ф* (t).