18.6. Условная вероятность
Пусть события А и В зависимые, т.е. Р (А) зависит от появления или не появления события В.
Условной вероятностью события В называется вероятность этого события, вычисленная в предположении, что событие А уже наступило, и обозначают РА (В) или Р (В\А).
Пример. В урне содержится три белых и три черных шара. Из урны вынимают на удачу по одному шару. Найти вероятность появления белого шара при втором испытании (событие В).
Решение. А - появление белого шара при первом испытании
В - появление белого шара при втором испытании
РА
(В)=
Р (А)=
.
18.7. Теорема умножения вероятностей зависимых событий
Теорема. Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого.
Р (АВ)=Р (А) РА (В)
Доказательство. n1 - число всевозможных исходов испытания, в которых событие А наступает или не наступает.
m1 - число исходов, благоприятствующих появлению события А
m2 - число всевозможных исходов испытания, в которых событие В наступает, в предположении, что событие А уже произошло, т.е. это число исходов, благоприятствующих появлению АВ.
Ясно, что m1 n1, m2 m1
Р (АВ)=
Замечание. Применив формулу (*) к событию ВА, получим
Р (ВА)=Р (В) РВ (А)
Но т.к. Р (АВ)=Р (ВА), то Р (А) РА (В)=Р (В) РВ (А)
Следствие. Вероятность совместного появления нескольких зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появились.
Р (А1А2 ... Аn)=Р (А1) Р (А2) ... РА1А2 (А3) ... РА1А2...А n-1 (Аn),
где РА1А2...А n-1 (Аn) - вероятность появления события Аn при условии, что события А1, А2, ... Аn-1 уже наступили.
Пример. У сборщика имеется 3 конусных и 7 эллиптических валиков. Сборщик наудачу взял один валик, а затем второй. Найти вероятность того, что первый из взятых валиков - конусный, а второй - эллиптический.
Решение.
Вероятность, что первый взятый валик
конусный (событие
А),
Р (А)=
.
Вероятность
того, что второй взятый валик эллиптический
(событие
В)
(при условии,
что первый уже конусный),
РА
(В)=
.
Искомая вероятность
Р (АВ)=Р
(А)
РА
(В)=
=
.
Лекция 19. Основные теоремы теории вероятностей (продолжение)
19.1. Теорема сложения вероятностей совместных событий
Два события называют совместными, если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании.
Пример. Бросают игральную кость. А - выпадение 4-х очков, В - выпадение четного числа очков. А и В - совместные события.
Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления.
Р (А+В)=Р (А)–Р (АВ) (19.1.)
Доказательство. Т.к. А и В совместны, то А+В наступит если наступит одно из 3-х несовместных событий: АВ, АВ, АВ. По теореме сложения вероятностей несовместных событий.
Р (А+В)=Р (АВ)+Р (АВ)+Р (АВ) (19.2.)
Событие А произойдет, если наступит одно из двух несовместных событий АВ и АВ т.е. А=АВ+АВ. По теореме сложения несовместных событий
Р (А)=Р (АВ)+Р (АВ)
Отсюда
Р (АВ)=Р (А)–Р (АВ) (19.3.)
Аналогично:
Р (В)=Р (АВ)+Р (АВ)
Р (АВ)= Р (В)+ Р (АВ) (19.4.)
Подставив (19.3.) и (19.4.), получим
Р (А+В)=Р (А)–Р (АВ)+Р (В)+Р (АВ)=Р (А)+Р (А)–Р (АВ)
Замечание 1. Формула (19.2.) справедлива для зависимых и независимых событий, только Р(АВ) вычисляется по-разному для зависимых и независимых событий. А именно, для независимых событий
Р (А+В)=Р (А)+Р (В)–Р (А) Р (В),
для зависимых событий
Р (А+В)=Р (А)+Р (В)–Р (А) РА (В)
Пример. Вероятности попадания в цель при стрельбе первого и второго орудия соответственно равны: р1=0,7; р2=0,8. Найти вероятность попадания при одном залпе (из обоих орудий) хотя бы одним из орудий.
Решение.
I способ.
А - попадание I орудия
В - попадание II орудия. А и В - независимы. А В - оба орудия попали.
Р (АВ)=Р (А) Р (В)=0,7 0,8=0,56
Р (А+В)=Р (А)+Р (В)–Р (АВ) т.к. А и В - совместны
Р (А+В)=0,7+0,8–0,56=0,94
II способ.
=
1–0,7=0,3
- вероятность
непопадания I
орудия
=
1–0,8=0,2
- вероятность
непопадания II
орудия
=
0,3
0,2=0,06
- вероятность
непопадания при залпе
=
1–Р
(АВ)=1–0,06=0,94,
т.к.
=
А
В