24.2. Закон распределения вероятностей дискретной двумерной случайной величины

Определение. Законом распределения дискретной случайной величины называют перечень возможных значений этой величины (т.е. пар чисел (х_i, y_i); (i=1, 2,..., n); (j=1, 2,..., n)).

Х Y	х1	х2	......	хn
у1	Р (х1, у1)	Р (х2, у1)	......	Р (хn, у1)
...	..................	..................	..................	..................
уm	Р (х1, уm)	Р (х2, уm)	......	Р (хn, уm)

Т.к. события (Х= х_i; Y=y_j), (i=1, 2, ..., n); (j=1, 2, ..., m) составляют полную группу, то сумма всех вероятностей таблицы равна I.

Зная закон распределения двумерной случайной величины, можно составить законы распределения каждой из составляющих. Действительно, например, события (Х=х₁, Y=у₁), ..., (Х=х₁, Y=у_m) являются несовместными, и вероятность Р (х₁) того, что Х примет значение х₁ по теореме сложения такова:

Р (х₁)=р(х₁, у₁)+р(х₂, у₂)+...+р(х₁, у_m).

Итак, Р(х₁) равна сумме вероятностей «столбца х₁» из таблицы.

Аналогично, сложив вероятности «строки у_j», получим Р (Y=y_j) или Р (у_j).

Пример. Найти законы распределения составляющих двумерной случайной величины, заданной законом распределения.

Х Y	х1	х2	х3
у1	0,10	0,30	0,20
у2	0,06	0,18	0,16

Решение. р(х₁)=0,10+0,06=0,16.

р (х₂)=0,30+0,18=0,48

р (х₃)=0,20+0,16=0,36

Y	х1	х2	х3
Х	0,16	0,48	0,36

Контроль: 0,16+0,48+0,36=1

Y	у1	у2
Х	0,60	0,40

Контроль: 0,60+0,40=1

24.3. Интегральная и дифференциальная функция распределения двумерной случайной величины и их свойства

Определение. Интегральной функцией распределения двумерной случайной величины (дискретной или непрерывной) называется функция

F(x₁ y)=P(X<x, Y<y).

Геометрически это равенство можно истолковать так: F(х, у) есть вероятность того, что случайная точка (Х, Y) попадает в бесконечный квадрант с вершиной (х, у), расположенный левее и ниже этой вершины.

Свойство 1. Значение интегральной функции удовлетворяют двойному неравенству

0  F (х, у)  1.

Свойство 2. F (х, у) - неубывающая функция по обоим аргументам,

т.е. F (х₂, у)  F (х₁, у), если х₂>х₁;

F (х, у₂)  F (х, у₁), если у₂>у₁.

Свойство 3. Имеют место предельные соотношения: F (- , у)=0

F (х,–)=0,

F (–,–)=0,

F (+ ,+)=1.

Свойство 4. F (х,+)=F_х (х) и F (+ , у)=F_у (у),

где F_х (х) и F_у (у) - интегральные функции распределения вероятностей случайных величин Х и Y, составляющих двумерную величину (Х, Y).

Свойство 5. Р [(X, Y)  R]=F(, )–F(d, )–F(, )+F(, )