21.8. Свойство интегральной функции

Свойство 1. Значения интегральной функции принадлежат отрезку 0  F(x)  1.

Доказательство. F(x) - вероятность, а вероятность всегда есть число, неотрицательное и не превышающее 1.

Свойство 2. F(x) - неубывающая функция, т.е. F(x₂)  F(x₁), если х₂>х₁.

Доказательство. Пусть х₂>х₁. Событие. Состоящее в том, что Х принимает значение<х₂, можно разложить на сумму несовместимых событий:

1) Х принимает значение < х₂ с вероятностью Р (х₂<х₁);

2) Х принимает значение, удовлетворяющее неравенству х₁ Хх₂, с вероятностью Р (х₁ Х х₂).

По теореме сложения Р (Х<х₂)=Р (Х<х₂)+Р (х₁  Х  х₂).

Отсюда

Р(Х<х₂)–Р(Х<х₂)+Р(х₁Хх₂) или F(х₂)–F(х₁)=Р(х₁Хх₂) (21.10)

Т.к. любая вероятность  0, то F(х₂)–F(х₁)0 или F(х₂)F(х₁), что и требовалось доказать.

Следствие 1. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале [a;b], равна приращению интегральной функции на этом интервале:

Р (а  Х  b)=F (b)–F (a) (21.11)

Это следствие вытекает из (21.10.), если х₂=b, x₁=a.

Свойство 3. Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет одно определенное значение, равна 0.

Действительно, положив в (21.11) b=х₀+х, а=х₀, получим

Р (х₀  Х  х₀+х)=F (х₀+х)–F(x₀).

Устремим х0. Т.к. Х - непрерывная случайная величина, то F(х)–непрерывная функция, и поэтому F (х₀+х)–F(x₀)0, а, следовательно,

Р (Х=х₀)=0.

Используя это положение, легко убедится в справедливости неравенств:

Р (а  Х  b)=Р (а<Х  b)=Р (а  Х  b)=Р (а  Х  b) (21.12)

Например, равенство Р (а  Х  b)=Р (а<Х  b) доказывается так:

Р (а  Х  b)=Р (Х=а)+Р (а<Х  b)=Р (а<Х  b)

Пример. Случайная величина Х задана интегральной функцией

Найти вероятность того, что Х попадает в интервал [2;3].

Решение. (2<X<3)=F(3)–F(2)= , т.к. на интервале [2; 3] F(x)=

Свойство 4. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу [a; b], то F(x)=0 при х  а, F(х)=1 при х  b.

Доказательство.

1) Пусть х₁а. Тогда событие Х<х₁- невозможно Р(х<х₁)=0, т.е. F(х)=0 при х а.

2) Пусть х₂  b. Тогда событие Х<> х₂ - достоверно, т.к. все значения Х меньше b, и следовательно, Р (Х<х₂)=1, т.е. F(х)=1 при х  b.

Следствие. Если возможные значения непрерывной величины расположены по всей оси Ох, то справедливы следующие предельные соотношения

и или и

21.9. График интегральной функции

Доказанные свойства позволяют представить график интегральной функции непрерывной случайной величины.

График расположен в полосе, ограниченной прямыми у=0, у=1 (первое свойство).

При возрастании х в интервале [a;b], где расположены все значения Х, F(х) возрастает, т.е. график "поднимается вверх" (свойство 2).

При х  а ординаты графика=0, при х  b ординаты=1 (свойство 3).

Для дискретной случайной величины график имеет ступенчатый вид, т.к.

F(х)=Р (Х <х)=

Убедимся в этом на примере.

Пример. Пусть дана дискретная случайная величина Х своим рядом распределения.

Х	1	3	7
Р	0,3	0,1	0,6

Найти интегральную функцию и вычертить ее график.

Решение. 1) Если х  1, то F(x)=0 (свойство 3)

2) Если 1<х  3, то F(X)=P (X<x)= (X=x_i)=0,3

3) Если 3<х  7, то F(X)= (X=x_i)=0,3+0,1=0,4

4) Если х>7, или 7<x<, то F(x)=P (x<)=

(X=x_i)=P (Х=1)+Р (Х=3)+Р (Х=7)=0,3+0,1+0,6=1

Таким образом,

Лекция 22. Дифференциальная функция распределения

вероятностей непрерывной случайной величины и

ее числовые характеристики

22.1. Определение дифференциальной функции распределения

Непрерывную случайную величину, можно задать не только интегральной функции распределения вероятностей, но и с помощью дифференциальной функции распределения вероятностей.

Определение. Дифференциальной функцией распределения f(х) называют первую производную от интегральной функции: f(x)=F`(x).

Из приведенного определения следует, что интегральная функция f(х) является первообразной для дифференциальной функции f(х).

Для дискретной величины f(х) - не существует.

Часто вместо термина «дифференциальная функция» пользуются термином «плотность вероятности».