21.3. Дисперсия дискретной случайной величины

Зная математическое ожидание случайной величины, еще нельзя судить о ее возможных значениях.

Пример.

Х	-0,01	0,01		Y	-100	100
Р	0,5	0,5		Р	0,5	0,5

М(Х)=-0,010,5+0,010,5=0

М(Y)=-1000,5+1000,5=0

Возможные значения Х расположены около математического ожидания, а возможные значения Y далеко от своего математического ожидания. Возникает вопрос, как рассеяны значения случайной величины вокруг ее математического ожидания.

Определение. Отклонением называют разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием: Х–М (Х).

Если известен закон распределения Х:

Х	х1	х2	...	хn
Р	р1	р2	...	рn

то закон распределения отклонения Х–М (Х):

Х–М (Х)	х1–М (Х)	х2–М (Х)	...	хn–М (Х)
Р	р1	р2	...	рn

т.к. для того, чтобы появилось значение х₁–М (Х) достаточно, чтобы случайная величина приняла значение х₁. Вероятность этого события равна р₁. Следовательно, вероятность того, что отклонение примет значение х₁–М (Х), также равна р. Аналогично для других возможных значений отклонения.

Теорема. Математическое ожидание отклонения равно 0.

Доказательство. Пользуясь свойствами математического ожидания, что математическое ожидание разности равно разности математических ожиданий, математическое ожидание постоянной равно постоянной и приняв во внимание, что М (Х) есть постоянная величина, имеем:

М [X–M (X)]=M (X)–M [M (X)]=M (X)–M (X)= 0.

Вернемся к вопросу о рассеянии возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения (вокруг математического ожидания). Например, при стрельбе важно знать, насколько кучно могут быть снаряды вблизи цели, которая должна быть поражена.

Может показаться, что для оценки рассеяния проще всего снизить все возможные значения отклонения случайной величины и затем найти их среднее значение. Однако, согласно выше доказанной теореме, это среднее равно 0 для любой случайной величины. Это объясняется тем, что одни отклонения положительны, другие отрицательны; в результате их взаимного погашения среднее значение отклонения равно 0.

Эти соображения говорят о целесообразности замены отклонений их абсолютными величинами или квадратами. Оперировать с абсолютными величинами трудно, поэтому чаще используют квадраты отклонения случайной величины.

Определение. Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания.

Д (Х)=М [Х–М (Х)]².

Пусть

Х	х1	х2	...	хn
Р	р1	р2	...	рn

тогда

[Х–М (Х)]^2	[х1–М (Х)]^2	[х2–М (Х)]^2	...	[хn–М (Х)]^2
Р	р1	р2	...	рn

По определению Д(Х)=М[Х–М(Х)]²=[х₁–М(Х)]²р₁+[х₂–М(Х)]²р₂+...+[х_n––М(Х)]²р_n. Из определения следует, что Д(Х)- постоянная величина.

Пример. * (о стрелках, продолжение). Вычислить дисперсию, если

Х	1	2	3
Р	0,8	0,16	0,04

и М(Х)=1,24, Д(Х)=(1–1,24)²0,8+(2–1,24)²0,16+(3–1,24)²0,04=0,26.

Вычисление дисперсии, основанное на определении, громоздко. Удобнее для вычисления дисперсии использовать теорему.

Теорема. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом ее математического ожидания:

Д (Х)=М (Х)²–[M (X)]²

Доказательство. Математическое ожидание М(Х) есть постоянная величина, т.е. 2М (Х) и [M (Х)]² также постоянные числа.

Д (Х)=М (Х)²–[M (X)]²=М [Х–М (Х)]²=М [Х²–2Х  М (Х)+[М (Х)]²=

= М (Х)²–2М (Х)  М (Х)+ [М (Х)]²=М (Х)²– [М (Х)]².

(Использованы свойства математического ожидания: постоянный множитель можно вынести за знак математического ожидания, математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых, математическое ожидание постоянной равно этой постоянной).

Итак, Д (Х)=М (Х)²–[M (X)]².