20. 3. Биноминальное распределение

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появится, либо не появится. Вероятность наступления события А во всех испытаниях одинакова и равна р (следовательно, вероятность не наступления ). Рассмотрим дискретную величину Х - число появлений события А и n испытаниях.

Поставим задачу: найти закон распределения величины Х, т.е. нужно найти все возможные значения х_i случайной величины и вероятности p_i появления этих значений.

Очевидно, событие А в n испытаниях может не появиться (х₁= 0), либо появиться один раз (х₂ =1), либо два раза (х₃ =2), ..., либо n раз (х_n+1=n).

По формуле Бернулли

Р_n (k)=C , (4.1.)

где k=0, 1, 2, ..., n. Формула (4.1.) является аналитическим выражением искомого закона распределения. Она справедлива при k=0 и k=n т.к.

0!=1,

Определение. Биноминальным называют распределение вероятностей, определяемое формулой Бернулли.

Напишем биноминальный закон распределения вероятностей в виде таблицы:

Х	0	1	...	k	...	n–1	n
Р	q^n	npg^n^-1	...	C	...	np^n^-1q	p^n

Пример. Вероятность брака в данной партии деталей p=0,1. Какова вероятность того, что в партии из 3-х деталей будет k=0, 1, 2, 3 бракованных деталей:

Решение. Р (х=0)= = 0,729, т.к. q³=(1–p)³=(1–0,1)³=0,9

Р (х=1)=

Р (х=2)=

Р (х=3)=

Х	0	1	2	3
Р	0,729	0,243	0,027	0,001

20. 4. Распределение Пуассона

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна р. Применима формула Бернулли. Но если n - велико, то ей пользоваться неудобно. В случаях, когда n -велико, р - мало прибегают к асимптотической формуле Пуассона. Итак, поставим своей задачей найти вероятность того, что при очень большом числе испытаний, в каждом из которых вероятность наступления события очень мала, событие наступит ровно k раз, т.е. найдем Р_n (k).

Сделаем важное допущение: произведение p  n сохраняется постоянное значение, а именно

np==const

(это означает, что среднее число появлений события в различных сериях испытаний, т.е. при различных значениях n, остается неизменным).

По формуле Бернулли:

p_n (k)=C

Т.к. np=, то р=

Р_n (k) =

Поскольку n - велико, то вместо Р_n(k) найдем

Можно показать, что в этом случае P_n (k)= - это закон распределения Пуассона вероятностей массовых (n - велико) редких (р - мало) событий.

Замечание. Есть специальные таблицы, пользуясь которыми можно по известным k и  найти Р_n (k).

Пример. Аппаратура содержит 5000 элементов, вероятность отказа каждого из них Р=0,001. Найти вероятность отказа аппаратуры, если она отказывает при отказе хотя бы одного из элементов.

Решение. n - велико, р - мало, поэтому можно применить формулу Пуассона

Р_отказа=Р₁+Р₂+...+Р₅₀₀₀.

Справа сумма вероятностей отказов 1, 2^х, 3^х, ..., 5000 -ти элементов.

Р_отказа=1–Р₅₀₀₀ (0), где Р₅₀₀₀ (0)–вероятность того, что не откажет ни один из 5000 элементов.

Р₅₀₀₀ (0)= е^-=е^-=е^-nр=е^{-5000 0,001}=е^-5

Р_отказа=1–е^-5  0,993