24.6. Коррелированность и зависимость случайных величин

Определение. Две случайные величины называют коррелированными, если К_ху  0 (r_ху  0).

Определение. Х и Y называются некоррелированными, если K_xy=0 (r_xy=0).

Две коррелированные величины так же и зависимы.

Обратное не всегда имеет место, т.е. если две величины зависимы, то они могут быть как коррелированными (К_ху  0), так и некоррелированными (К_ху=0).

Лекция 25. Предельные теоремы

Предельные теоремы теории вероятностей делятся на две группы.

Теоремы I группы, объединенные общим названием «закон больших чисел», устанавливают факт приближения при определенных условиях среднего арифметического нескольких случайных величин к некоторым неслучайным величинам. Теоремы II группы, известные под общим названием: «центральная предельная теорема» - устанавливают факт приближения при определенных условиях закона распределения суммы случайных величин к нормальному закону. Нормальный закон является самым распространенным из законов распределения. Он возникает во всех случаях, когда случайная величина может быть представлена в виде суммы достаточно большого числа независимых элементарных слагаемых, каждое из которых в отдельности мало влияет на сумму.

25.1. Закон больших чисел

На практике часто требуется установить закономерности поведения суммы достаточно большого числа случайных величин. Очень важно знание условий, при выполнении которых совокупное действие очень многих случайных величин приводит к результату, почти не зависящему от случая. Эти условия и указываются в теоремах, носящих общее название закона больших чисел. К ним относятся теоремы Чебышева и Бернулли (остальные мы не рассматриваем).

Теорема Чебышева является наиболее общим законом больших чисел, теорема Бернулли - простейшим. Для доказательства этих теорем используется неравенство Чебышева.

Неравенство Чебышева.

Вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания по абсолютной величине меньше положительного числа  не меньше, чем 1– .

Р(|X–M(X)|<)  1– (25.1)

Доказательство. Т.к. события |X–M(X)|< и |X–M(X)|   противоположны, то сумма их вероятностей=I, т.е. Р(|X–M(X)|< )+Р(|X–M(X)|  )=1

Р(|X–M(X)|<)=1–Р(|X–M(X)|  ) (25.2.)

Рассмотрим дисперсию

Д (Х)=

Это справедливо, т.к. подынтегральная функция>0, и уменьшая область интегрирования, уменьшаем интеграл

Д (Х)>² =² Р(| x–M(X)|  ), т.е.

|x–M(X)|   Р(|x–M(x)|  )< (25.3.)

Подставляя (26.3.) в (26.2.), получим неравенство Чебышева (25.1.) что и требовалось доказать. Доказательство для дискретной случайной величины см. Гмурман, стр. 95. В частности, при =3(х) получаем

Р(|X–M(X)|<3)>1– это грубая оценка вероятности события. М(Х)–3<X<M(X)+3, («правило 3^х сигм»).

Для практики неравенство Чебышева имеет ограниченное значение, т.к. дает грубую оценку. Но теоретическое значение его велико, т.к. используется в доказательствах других теорем.