- •1. Понятие функции. Ограниченные функции
- •2. Функции нечетные, четные, монотонные
- •3. Числовые последовательности. Определение и примеры
- •5) Словесным описанием.
- •6) Табличным способом.
- •4. Предел числовой последовательности
- •5. Теоремы о пределах числовой последовательности
- •Расходящиеся последовательности:
- •6. Раскрытие неопределенностей 0/0, ∞-∞
- •7.( В конспекте)
- •8. Понятие предела функции
- •9. Вычисление пределов
- •10. Первый замечательный предел и связанные с ним пределы
- •11. Второй замечательный предел и связанные с ним пределы
- •12. Бесконечно большие и бесконечно малые функции
- •13. Бесконечно малые функции одного порядка, эквивалентные бесконечно малые
- •14. Односторонние пределы
- •15. Непрерывность функции в точке и на множестве
- •16. Классификация точек разрыва
- •17. Свойства непрерывных функций
- •18. // В конспекте
- •19. Производная функции в точке
- •20. Правила дифференцирования
- •25. Производная сложной функции
- •26. Производная обратной функции
- •28. Производная функции, заданной неявно и параметрически
- •29. Дифференциал функции, инвариантность формы 1-го дифференциала
- •30. Производные высших порядков. Ф-ла Лейбница
- •31. Дифференциалы высших порядков
- •32. Геометрический смысл производной. Уравнение касательной и нормали
- •33. Теорема Ролля
- •34. Теорема Лагранжа
- •36. Экстремум функции одной переменной. Необходимое условие экстремума
- •37. Достаточные условия экстремума
- •38. Выпуклость, вогнутость графика функции, точки перегиба
- •39. Достаточные условия перегиба
- •40. Асимптоты графика функции
- •41. Правило Лопиталя
- •42. Формула Тейлора для функции
- •43. Комплексные числа. Алгебраическая форма записи комплексного числа
- •44. Действия над комплексными числами в алгебраической форме
- •45. Векторы, линейные операции над векторами
- •46. Координаты вектора
- •47. Определители 2-го, 3-го порядков и их вычисление
- •48. Свойства определителя
- •49. Теорема о разложении определителя
- •50. Линейная зависимость векторов
- •51. Скалярное произведение векторов и его свойства
- •52. Векторное произведение векторов и его свойства
- •53. Смешанное произведение векторов и его свойства
- •54. Уравнение плоскости в пространстве
- •55. Уравнение прямой на плоскости
- •56. Уравнение прямой в пространстве
- •56. Уравнение прямой и плоскости в пространстве
- •58. Кривые второго порядка: эллипс, парабола, гипербола
- •59. Поверхности второго порядка
- •60. Матрицы и действия над ними
- •61. Системы линейных уравнений. Правило Крамера
- •62. Обратная матрица. Условие существования обратной матрицы
- •63. Вычисление обратной матрицы
- •64. Ранг матрицы. Вычисление ранга матрицы
- •65. Теорема Кронекера
41. Правило Лопиталя
Будем говорить, что отношение функций f(x)/g(x) представляет собой неопределенность вида 0/0 при x a, если
limx af(x) = limx ag(x) = 0.
Раскрыть неопределенность - это значит вычислить предел limx af(x)/g(x), если он существует. Аналогично можно ввести понятие неопределенности при x a-0 (x a+0), x.
Следующая теорема дает правило раскрытия неопределенности вида 0/0.
Теорема 7 (правило Лопиталя). Пусть множество (a) - проколотая - окрестность точки a, функции f(x),g(x) определены и дифференцируемы на , g'(x) 0,
limx af(x) = limx ag(x) = 0.
Тогда если существует limx af'(x)/g'(x), то существует и предел limx af(x)/g(x), причем справедливо соотношение
limx af(x)/g(x) = limx af'(x)/g'(x).
Данная теорема без изменений переносится на случай неопределенности вида /.
Замечание. Сформулированная теорема представляет собой лишь достаточное условие. То есть предел отношения функций может существовать и в случае, когда предел отношения производных не существует.
Например, пусть f(x) = x+sin x, g(x) = x-sin x, x. Попробуем применить правило Лопиталя
limx(x+sin x)/(x-sin x) = / = =limx(x+sin x)'/(x-sin x)' = limx (1+cos x)/(1-cos x),
но предел последнего выражения не существует, однако, если поделить числитель и знаменатель на x, то легко получим конечное значения предела:
limx(x+sin x)/(x-sin x) = limx (1+sin x/x)/(1-sin x/x) = 1
Замечание. Если производные f'(x),g'(x) удовлетворяют тем же требованиям, что и сами функции, то правило Лопиталя можно применить повторно, т.е. предел отношения первых производных можно заменить пределом отношения вторых производных и т.д.
Кроме рассмотренных выше видов неопределенностей вида 0/0 и / часто встречаются неопределенности видов: 0· , 1, 0, 0. Все эти неопределенности сводятся к двум вида 0/0 и / путем алгебраических преобразований. Продемонстрируем это на примере неопределенностей вида 1, 0, 0. Каждая из этих неопределенностей имеет вид
y = f(x)g(x), |
(9) |
где limx af(x) = 1;0;, limx ag(x) = ;0, Прологарифмировав выражение (9), получим (при f(x)>0 )
ln y = g(x)ln f(x).
Последнее выражение представляет собой при x a неопределенность вида 0· . Покажем, как свести неопределенность вида 0· к неопределенности вида 0/0 или /.
Пусть y = f(x)g(x), где limx af(x) = 0, а limx ag(x) = . Но y можно записать иначе, а именно y = f(x)/(1/g(x)), а данное выражение представляет собой при x a неопределенность вида 0/0.
Проиллюстрируем на примерах применение правила Лопиталя.
Пример 12. Применяя правило Лопиталя, вычислить пределы:
limx 0(eax-e-2ax)/ln (1+x) = 0/0= limx 0(aeax+2ae-2ax)/(1/(1+x)) = 3a.
limx(e1/x2-1)/(2arctg x2-) = 0/0= limx(-2x-3e1/x2)/(4x/(1+x4)) = limx-e1/x2(1+x4)/2x4 = -1/2.
limx 1(1/ln x-1/(x-1)) = = limx 1 (x-1-ln x)/((x-1)ln x) = limx 1(1-1/x)/(ln x+1-1/x) = limx 1(x-1)/(xln x+x-1) = limx 11/(ln x+2) = 1/2.
limx +0(1/x)sin x. Пусть y = (1/x)sin x, тогда ln y = sin xln (1/x),
limx +0ln y = lim limx +0sin xln (1/x). limx +0ln y = limx +0(-ln x)/(1/sin x) = limx +0(-1/x)/(-cos x/sin2x) = limx +0 sin2x/(xcos x) = 0.
Следовательно, limx 0 y = e0 = 1.