- •1. Понятие функции. Ограниченные функции
- •2. Функции нечетные, четные, монотонные
- •3. Числовые последовательности. Определение и примеры
- •5) Словесным описанием.
- •6) Табличным способом.
- •4. Предел числовой последовательности
- •5. Теоремы о пределах числовой последовательности
- •Расходящиеся последовательности:
- •6. Раскрытие неопределенностей 0/0, ∞-∞
- •7.( В конспекте)
- •8. Понятие предела функции
- •9. Вычисление пределов
- •10. Первый замечательный предел и связанные с ним пределы
- •11. Второй замечательный предел и связанные с ним пределы
- •12. Бесконечно большие и бесконечно малые функции
- •13. Бесконечно малые функции одного порядка, эквивалентные бесконечно малые
- •14. Односторонние пределы
- •15. Непрерывность функции в точке и на множестве
- •16. Классификация точек разрыва
- •17. Свойства непрерывных функций
- •18. // В конспекте
- •19. Производная функции в точке
- •20. Правила дифференцирования
- •25. Производная сложной функции
- •26. Производная обратной функции
- •28. Производная функции, заданной неявно и параметрически
- •29. Дифференциал функции, инвариантность формы 1-го дифференциала
- •30. Производные высших порядков. Ф-ла Лейбница
- •31. Дифференциалы высших порядков
- •32. Геометрический смысл производной. Уравнение касательной и нормали
- •33. Теорема Ролля
- •34. Теорема Лагранжа
- •36. Экстремум функции одной переменной. Необходимое условие экстремума
- •37. Достаточные условия экстремума
- •38. Выпуклость, вогнутость графика функции, точки перегиба
- •39. Достаточные условия перегиба
- •40. Асимптоты графика функции
- •41. Правило Лопиталя
- •42. Формула Тейлора для функции
- •43. Комплексные числа. Алгебраическая форма записи комплексного числа
- •44. Действия над комплексными числами в алгебраической форме
- •45. Векторы, линейные операции над векторами
- •46. Координаты вектора
- •47. Определители 2-го, 3-го порядков и их вычисление
- •48. Свойства определителя
- •49. Теорема о разложении определителя
- •50. Линейная зависимость векторов
- •51. Скалярное произведение векторов и его свойства
- •52. Векторное произведение векторов и его свойства
- •53. Смешанное произведение векторов и его свойства
- •54. Уравнение плоскости в пространстве
- •55. Уравнение прямой на плоскости
- •56. Уравнение прямой в пространстве
- •56. Уравнение прямой и плоскости в пространстве
- •58. Кривые второго порядка: эллипс, парабола, гипербола
- •59. Поверхности второго порядка
- •60. Матрицы и действия над ними
- •61. Системы линейных уравнений. Правило Крамера
- •62. Обратная матрица. Условие существования обратной матрицы
- •63. Вычисление обратной матрицы
- •64. Ранг матрицы. Вычисление ранга матрицы
- •65. Теорема Кронекера
51. Скалярное произведение векторов и его свойства
Кроме линейных операций, для векторов определено также скалярное произведение.
Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число
.
Скалярное произведение обозначается также .
Если хотя бы один из векторов или нулевой, то .
Скалярным квадратом вектора называется величина
.
Физический смысл скалярного произведения двух векторов состоит в том, что оно численно равно работе, осуществляемой силой по перемещению материальной точки на вектор , то есть
.
Для вычисления угла между векторами и можно воспользоваться формулой
.
Свойства скалярного произведения:
– коммутативность;
–дистрибутивность;
;
тогда и только тогда, когда ;
тогда и только тогда, когда ,
тогда и только тогда, когда
6)
7) .
52. Векторное произведение векторов и его свойства
Векторным произведением двух векторов и называется вектор, удовлетворяющий следующим условиям:
1) ;
2)
3) тройка векторов – правая.
Векторное произведение обозначают также
Если хотя бы один из векторов или нулевой, то
Геометрический смысл векторного произведения состоит в том, что длина этого вектора численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах и :
.
Физический смысл векторного произведения состоит в том, что момент силы приложенной к точке A, относительно точки O есть векторное произведение векторов и т. е.
.
Свойства векторного произведения:
1) ;
2) ;
3) ;
4) при тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарны.
Если и то
Последнюю формулу удобно записать в виде формального определения третьего порядка:
53. Смешанное произведение векторов и его свойства
Смешанным произведением трех векторов и называется число, определяемое соотношением
.
Если хотя бы один из векторов – нулевой, то их смешанное произведение равно нулю.
Геометрический смысл смешанного произведения векторов состоит в том, что его абсолютное значение равно объему V параллелепипеда, построенного на векторах приведенных к общему началу:
.
Свойства смешанного произведения
1) ;
2) ;
;
3) , где
4) при тогда и только тогда, когда – компланарные векторы;
5) векторы образуют базис в трехмерном пространстве при условии
6) если то векторы образуют правую тройку; если – левую.
В случае, когда векторы заданы в ортонормированном базисе координатами их смешанное произведение может быть найдено по формуле
. (10)
54. Уравнение плоскости в пространстве
Пусть P – плоскость, уравнение которой надо записать, – произвольная точка плоскости.
1. Если задана точка плоскости Р и два некомпланарных вектора и , параллельных данной плоскости, то справедливы следующие уравнения плоскости Р
(1)
где – радиус-вектор точки , называется векторно-параметрическим уравнением плоскости P. Запись уравнения (1) в координатной форме
(2)
называется параметрическими уравнениями плоскости.
Плоскость можно задать уравнением
. (3)
2. Если известны три точки плоскости P, не лежащие на одной прямой: , , , то имеем уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки :
(4)
3. Если известны точки пересечения плоскости P с координатными осями, т. е. M0(a, 0, 0), M1(0, b, 0), M2(0, 0, c), то справедливо уравнение плоскости «в отрезках»:
(5)
4. Если задан нормальный вектор и точка , то справедливо уравнение
(6)
После преобразования последнего уравнения приходим к общему уравнению плоскости P:
где
5. Если в качестве нормального вектора плоскости P взять единичный вектор направленный из начала координат в сторону плоскости, то где Тогда справедливо нормальное уравнение плоскости
(7)
где – расстояние от начала координат до плоскости.
Величина
, (8)
где называется отклонением точки от плоскости . При этом: если и O(0, 0, 0) лежат по одну сторону от плоскости; – если лежат по разные стороны; если Расстояние от точки до плоскости равно абсолютному значению ее отклонения, т. е.
.
От общего уравнения плоскости к нормальному можно перейти с помощью умножения на нормирующий множитель
(9)
Расстояние от точки до плоскости заданной общим уравнением может быть найдено по формуле
(10)
Угол между плоскостями в пространстве определяется по косинусу угла между нормальными векторами и этих плоскостей:
(11)