63. Вычисление обратной матрицы
Обратную матрицу можно вычислить следующими способами.
1-й способ. Используют формулу
(1)
где С – матрица, составленная из алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы A.
2-й способ.
Для данной матрицы A
n-го
порядка строится прямоугольная размера
матрица
путем приписывания к A
справа единичной матрицы n-го
порядка; затем с помощью элементарных
преобразований над строками матрица
приводится к виду
.
Тогда
Для того чтобы матрица имела обратную достаточно того, чтобы она была невырождена.
64. Ранг матрицы. Вычисление ранга матрицы
Рангом матрицы
A
размера
называется максимальный порядок
отличных от нуля ее миноров. При этом
при этом любой ненулевой минор порядка
r
называется базисным
минором
матрицы A.
Основные методы нахождения ранга матрицы A.
Метод окаймляющих миноров
Если в матрице A
найден ненулевой минор Mk
порядка k,
а все окаймляющие его миноры
)-го
порядка равны нулю, то ранг матрицы
равен k
(
).
Метод элементарных преобразований
Используя элементарные преобразования строк, матрицу приводят к трапециевидной или треугольной форме, далее ранг находят по определению.
Как частный случай последнего метода, может быть рассмотрен метод нулей и единиц: элементарным преобразованием строк матрицу приводят к эквивалентной, состоящей или из нулевых строк и столбцов, или из строк и столбцов, в которых содержится ровно одна единица, а остальные элементы – нулевые. Количество единиц в такой матрице равно ее рангу.
65. Теорема Кронекера
Ответ на вопрос о совместимости системы дает теорема Кронера-Копелли: для того чтобы система (1) была совместной, необходимо и достаточно, чтобы
где – расширенная матрица системы (1), т.е. матрица свободных членов.