48. Свойства определителя
Свойства определителей:
1)
;
2)
;
3) общий множитель элементов какой-либо строки (столбца) можно вынести за знак определителя;
4) перестановка двух строк (столбцов) меняет знак определителя на противоположный;
5) |A|=0, если выполняется одно из следующих условий:
в определителе есть нулевая строка (нулевой столбец),
в определителе есть пропорциональные строки (столбцы),
в определителе есть строки (столбцы), являющиеся линейной комбинацией соответствующих элементов других строк (столбцов);
6) если к элементам одной строки (столбца) определителя прибавит линейную комбинацию соответствующих элементов других строк (столбцов), то значение определителя не изменится;
49. Теорема о разложении определителя
// нету….
50. Линейная зависимость векторов
Векторы
называются линейно
независимыми,
если равенство
справедливо
тогда и только тогда, когда
В противном случае эти векторы называются
линейно
зависимыми.
Для того чтобы векторы
были линейно зависимыми, необходимо и
достаточно, чтобы хотя бы один из них
можно было представить в виде линейной
комбинации остальных.
Упорядоченная
тройка
ненулевых линейно-независимых векторов
образует базис
в трехмерном пространстве. Любой вектор
пространства единственным образом
может быть разложен
по базисным векторам,
т.е. представлен в виде
где
– координаты вектора
в базисе
(записывают:
).
В пространстве линейная независимость векторов равносильна их некомпланарности, т.е. любые три некомпланарных вектора, взятые в определенном порядке, образуют базис.
Пусть задана тройка
некомпланарных векторов. Совместим
начала этих векторов. Если кратчайший
поворот вектора
до направления вектора
,
наблюдаемый с конца вектора
совершается против часовой стрелки, то
тройка векторов
называется правой.
В противном случае – левой.
Всюду далее рассматриваются правые
тройки базисных векторов.
Совокупность базисных векторов и их общего начала образуют, аффинную систему координат в пространстве. Координаты векторов в таком случае называют аффинными.
Если даны два
вектора
и
в некотором базисе, то
тогда и только
тогда, когда
(2)
(3)
В случае, когда
базисные векторы попарно перпендикулярны,
система координат называется прямоугольной
декартовой.
Если добавить, кроме того, условие
нормированности базисных векторов
(т.е. их единичную длину), то такой базис
называют ортонормированным
и обозначают
:
Прямоугольные декартовы координаты
вектора
является его проекциями на вектора
соответственно.
Если точка M имеет прямоугольные декартовы координаты x, y, z в системе координат с началом в точке O(0, 0, 0) и базисом , то соответствующий радиус-вектор
Если
и
,
то
.
Линейные
операции для векторов
и
в координатной форме и их скалярное
произведение вычисляются по формулам:
;
(4)
(5)
(6)
;
(7)
.
(8)
Направляющими
косинусами
вектора
называются величины
,
где
углы,
которые образует вектор
соответственно с осями
.
Их вычисляют по формулам:
(9)
Если
единичный
вектор, то
.
Координаты точки
C,
делящей отрезок AB
в отношении
,
можно найти по формулам:
