46. Координаты вектора

Прямоугольная декартова система координат Oxy на плоскости задается совокупностью точки О (начало системы координат) и пары перпендикулярных единичных векторов , При этом ось Ox, направление которой совпадает с направлением вектора называется осью абсцисс. Oсь y, совпадающая по направлению с вектором – осью ординат. Вся плоскость называется координатной плоскостью xOy. За масштабную единицу выбирают длину

Координатами точки М являются соответственно алгебраические проекции точки М на координатные оси Ox и Oy. Таким образом, точке М на плоскости соответствует упорядоченная пара (x, y) действительных чисел x и y. Пишут: M(x, y).

Каждой точке М на плоскости соответствует единственный радиус-вектор который имеет те же координаты, что и точка М. Пишут: Вектор может быть представлен также в виде линейной комбинации векторов

.

Если на плоскости заданы точки A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), то

,

длина

(5)

Пусть тогда единичный вектор (орт) есть

(6)

При этом координаты орта задают направление вектора и называются направляющими косинусами. Если то

. (7)

Если , то верны формулы

(8)

(9)

(10)

. (11)

Для коллинеарных векторов выполняется

.

Координаты точки C(x_c, y_c), делящей отрезок AB в отношении λ > 0, находят по формулам

(12)

47. Определители 2-го, 3-го порядков и их вычисление

Каждой квадратной матрице A порядка n можно поставить в соответствие единственное число, которое вычисляется по определенному правилу. Это число называется определителем матрицы A и обозначается |A|, или det A, или Δ(A). Порядок матрицы A является и порядком ее определителя. Определители порядка 1-3 определяются, соответственноо, равенствами:

,

, (3)

.

Минором M_ij элемента a_ij , , называется определитель (n-1)-го порядка, который состоит из элементов матрицы, полученной из данной после «вычеркивания» i- той строки и j-того столбца.

Алгобраическим дополнением элемента a_ij называется число А_ij=(-1)^i+jM_ij. Определитель порядка n, где определяется как число .

Последнее равенство называют разложением определителя по элементам первой строки. Оно есть обобщение равенств (3).

Основные методы вычисления определителей.

1. Для определителей 3-го порядка удобно использовать правило треугольников, которое схематично можно изобразить следующим образом:

Линии соединяют по три элемента, которые умножаются, а затем произведения складываются.

2. Определитель порядка n может быть вычисен разложением по любой строке (столбцу):

.

3. Метод эффективного понижения порядка определителя: используя свойства определителя, его преобразуют к такому виду, чтобы все элементы некоторой строки (столбца) опредлителя, кроме одного. были нулями, затем вычисляют определитель разложением по этой строке (столбцу).

4. Метод приведения к треугольному или диагональному виду с использованием свойств определителя, когда определитель равен произведению диагональных элементов..