42. Формула Тейлора для функции
Теорема
8 (теорема Тейлора). Пусть функция
f(x) имеет в точке x = a и некоторой
ее окрестности производные порядка
n+1. Тогда между точками a и x
a найдется такая точка
,
что справедлива следующая формула:
|
(10) |
Формула (10) называется формулой Тейлора, а выражение
представляет остаточный член в форме Лагранжа. Заметим, что если функция f(n+1)(x) ограничена в окрестности точки a, тогда остаточный член является бесконечно малой при x a более высокого порядка, чем (x-a)n. Таким образом, остаточный член можно записать в виде
Rn+1(x) = o((x-a)n) при x a.
Данная форма записи остаточного члена называется формой Пеано.
Формулой Маклорена называется формула Тейлора при a = 0:
|
(11) |
Остаточный член в форме Пеано для формулы Маклорена имеет вид
Rn+1 = o(xn) при x 0.
Приведем разложения некоторых элементарных функций по формуле Маклорена
43. Комплексные числа. Алгебраическая форма записи комплексного числа
Число вида
(10)
где
а,
i
– мнимая
единица,
определяемая равенством
называется
комплексным
числом.
Число а
называется действительной
частью
комплексного числа z
и обозначается
;
b
называется мнимой
частью
комплексного числа z
и обозначается
Запись комплексного числа в виде (10)
называется алгебраической
формой
комплексного числа.
Если
то комплексное число называется чисто
мнимым;
при
получается действительное число.
Множество всех
действительных чисел обозначают
.
Имеет место:
.
В прямоугольной
декартовой системе координат комплексное
число
изображается точкой M
с абсциссой a
и ординатой b
(рис. 9). Между множеством всех точек
координатной плоскости и множеством
всех комплексных чисел существует
взимно-однозначное соответствие.
Координатная плоскость называется
комплексной
плоскостью.
Ось абсцисс называется действительной
осью, ось
ординат – мнимой
осью.
Рис. 9
Два комплексных
числа
и
называются равными,
если соответственно равны их действительные
и мнимые части:
Если
то число
называется сопряженным
числу z
и обозначается
Сопряженные числа
в системе координат изображаются
точками, симметричными относительно
оси
44. Действия над комплексными числами в алгебраической форме
Действия над комплексными числами в алгебраической форме
Пусть
тогда:
(11)
(12)
(13)
Формулы (11) – (13)
показывают, что операции сложения,
вычитания и умножения выполняются
аналогично таким же действиям над
многочленами (с учетом
при умножении).
Для нахождения
частного комплексных чисел
и
сначала числитель и знаменатель дроби
умножают на сопряженное знаменателю
число
а затем производят остальные действия:
(14)
Свойства комплексно-сопряженных чисел
1)
2)
3)
4)
5)
6)
