- •1. Понятие функции. Ограниченные функции
- •2. Функции нечетные, четные, монотонные
- •3. Числовые последовательности. Определение и примеры
- •5) Словесным описанием.
- •6) Табличным способом.
- •4. Предел числовой последовательности
- •5. Теоремы о пределах числовой последовательности
- •Расходящиеся последовательности:
- •6. Раскрытие неопределенностей 0/0, ∞-∞
- •7.( В конспекте)
- •8. Понятие предела функции
- •9. Вычисление пределов
- •10. Первый замечательный предел и связанные с ним пределы
- •11. Второй замечательный предел и связанные с ним пределы
- •12. Бесконечно большие и бесконечно малые функции
- •13. Бесконечно малые функции одного порядка, эквивалентные бесконечно малые
- •14. Односторонние пределы
- •15. Непрерывность функции в точке и на множестве
- •16. Классификация точек разрыва
- •17. Свойства непрерывных функций
- •18. // В конспекте
- •19. Производная функции в точке
- •20. Правила дифференцирования
- •25. Производная сложной функции
- •26. Производная обратной функции
- •28. Производная функции, заданной неявно и параметрически
- •29. Дифференциал функции, инвариантность формы 1-го дифференциала
- •30. Производные высших порядков. Ф-ла Лейбница
- •31. Дифференциалы высших порядков
- •32. Геометрический смысл производной. Уравнение касательной и нормали
- •33. Теорема Ролля
- •34. Теорема Лагранжа
- •36. Экстремум функции одной переменной. Необходимое условие экстремума
- •37. Достаточные условия экстремума
- •38. Выпуклость, вогнутость графика функции, точки перегиба
- •39. Достаточные условия перегиба
- •40. Асимптоты графика функции
- •41. Правило Лопиталя
- •42. Формула Тейлора для функции
- •43. Комплексные числа. Алгебраическая форма записи комплексного числа
- •44. Действия над комплексными числами в алгебраической форме
- •45. Векторы, линейные операции над векторами
- •46. Координаты вектора
- •47. Определители 2-го, 3-го порядков и их вычисление
- •48. Свойства определителя
- •49. Теорема о разложении определителя
- •50. Линейная зависимость векторов
- •51. Скалярное произведение векторов и его свойства
- •52. Векторное произведение векторов и его свойства
- •53. Смешанное произведение векторов и его свойства
- •54. Уравнение плоскости в пространстве
- •55. Уравнение прямой на плоскости
- •56. Уравнение прямой в пространстве
- •56. Уравнение прямой и плоскости в пространстве
- •58. Кривые второго порядка: эллипс, парабола, гипербола
- •59. Поверхности второго порядка
- •60. Матрицы и действия над ними
- •61. Системы линейных уравнений. Правило Крамера
- •62. Обратная матрица. Условие существования обратной матрицы
- •63. Вычисление обратной матрицы
- •64. Ранг матрицы. Вычисление ранга матрицы
- •65. Теорема Кронекера
59. Поверхности второго порядка
Поверхностью второго порядка называется поверхность S, общее уравнение которой в декартовой прямоугольной системе координат имеет вид
(22)
где коэффициенты при одночленах второй степени одновременно не равны нулю.
Существует девять типов невырожденных поверхностей, уравнения которых с помощью преобразования координат могут быть приведены к одному из следующих видов. Эти уравнения определяют тип поверхности и называются каноническими уравнениями:
1. Эллипсоид:
2. Гиперболоид
1) однополостный:
|
2) двуполостный:
|
3. Конус второго порядка:
4. Параболоид
1) эллиптический:
|
2) гиперболический:
|
5. Цилиндр
1) эллиптический:
|
2) гиперболический:
|
3) параболический:
Основным методом исследования формы поверхности является метод сечений, который состоит в следующем. Поверхность пересекается координатными плоскостями и им параллельными, а затем на основании вида полученных в сечениях линий делается вывод о виде поверхности. Таким образом изучаются основные геометрические свойства невырожденных поверхностей второго порядка на основе их канонических уравнений.
При этом, когда в общем уравнении поверхности коэффициенты приведение к каноническому виду осуществляется с помощью метода выделения полных квадратов.
В определенных случаях уравнение (22) поверхности может быть приведено к уравнениям, задающим так называемые вырожденные поверхности. Приведем примеры таких случаев.
– пустое множество точек (мнимый эллипсоид);
– точка (0, 0, 0);
– пустое множество точек (мнимый эллиптический цилиндр);
–прямая (ось Oz);
– пара пересекающихся плоскостей;
– пара параллельных плоскостей;
– пустое множество точек;
– плоскость (пара совпадающих плоскостей).
60. Матрицы и действия над ними
Матрицей называется прямоугольная таблица, составленная из элементов некоторого множества. Горизонтальные ряды такой таблицы называются строками матрицы, а вертикальные – ее столбцами. Матрицы обозначают A, B, C, X … . Запись aij используется для указания местоположения элемента матрицы (i – номер строки, j – номер столбца ). Числовую матрицу размера (то есть состоящую из m строк и n столбцов чисел) в общем случае записывают в виде
или в более компактной форме ,
Ee обозначают также .
При матрицу называют квадратной и обычно обозначают An. Элементы aii, такой матрицы образуют ее главную диагональ.
Квадратная матрица вида
, (1)
где , называется диагональной. Если для любого , то матрица (1) называется единичной и обозначается En.
Верхней и нижней треугольной матрицами называются квадратные матрицы вида
или соответственно.
Трапециевидной матрицей называется матрица вида
, где числа a11, a12, …, akk отличны от нуля.
Нулевой матрицей называется матрица, все элементы которой равны нулю. Обозначают такую матрицу буквой O.
Две матрицы одинакового размера
и (2)
называются равными, если для всех .
Суммой матриц (2) называется матрица A+B размера m×n, состоящая из элементов , где .
Произведением матрицы Am×n на число α называется матрица .
Разностью матриц (2) называется матрица A–B = A+ (–1)B.
Свойства опреаций сложения матриц и умножения на число:
0·A=О;
A и B – матрицы одинакового размера.
Для матриц A и B может быть введена операция умножения A·B при условии, что матрицы согласованы, т. е. количество столбцов матрицы A равно количеству строк матрицы B.
Произведением матрицы Al×m на матрицу Bm×n называется матрица элементы которой
Свойства операции умножения матриц:
В общем случае из существования AB не следует существование BA. Даже если оба эти произведения определены, они не всегда равны. Матрицы, для которых называются коммутативными.
Пусть A – квадратная матрица. Тогда k-я степень ( ) матрицы A определяется равенством . По определению принимают при условии
Матрица AT , полученная из матрицы A заменой столбцов строками с теми же номерами, называется транспонированной к матрице A, то есть
Свойства операции транспонирования матриц:
Если для квадратной матрицы A выполняется соотношение то матрица A называется симметрической матрицей, а если – то кососимметрической.
Элементарными преобразованиями над строками матрицы A называют следующие операции:
перестановку строк;
умножение строки на ненулевое число;
прибавление к элементам строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на ненулевое число.
Говорят, что матрица A эквивалентна матрице B (пишут: A~B), если матрица B получена из A при помощи элементарных преобразований строк.