Книги / Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Том 1

§

12]

ПРОИЗВОДНЫЕ

СТЕПЕННОЙ

ФУНl(ЦИИ

83

Укажем, функции, не

далее,	правило
преобразовывая

нахождения	производной			неявной
ее в явную,	т. е.	не	представляя

в	виде у= f (х).
	Допустим,	что
Если здесь у		есть

функция функция

задана уравнением	x	+!f-a		11	=0.
	11
от х, определяемая	этим				,
			равенством

то

	.
это равенство есть тождество
Дифференцируя обе части	этого

тождества

по

х,

считая,

что

у

есть функция от х, получим				(пользуясь
вания	сложной	функции)	2х+2уу'=0,

правилом дифференциро­

откуда у'=-х/у.

Заметим,

что

если

бы

мы

стали

дифференцировать

соответст-

вующую

явную

функцию

у=

Va

11

-x2,

то

получили

бы

у'=

-

х ~

х =-и•

т.

е-.

тот

же

результат.

	Рассr,1:отрим еще		один пример неявной		функции g от
-у-х2 =0. Дифференцируем по х:				6у	у'-у'-2х=0,
				5
	,	2х
у	=	6y•-l •
	3	а меч ан и е 2.	Из приведенных	примеров следует,
нахождения значения производной неявной функции при

х: у• - откуда

что для данном

значении

аргумента

х

нужно

знать

и

значение

функции

у

при

данном

значении

х.

§ 12.	Производные		степенной			функции
при любом действительном					показателе,
показательной	функции,	сложной		показатеJIЬной

функции

Теорема	1.	Производная			от		функции	хп,
действительное	число,		равна		1	,	т. е.
				пхп-
		если	У= xn,		то		у'= nxn-I.

где	п-любое
	(1')

До к аз

ат ель ст в о.

Пусть

х

>

О.

Логарифмируя

данную

функцию,

будем иметь

ln

у=

п

ln

х.

	Дифференцируем
тая	у функцией от

обе	части	полученного		равенства		по
,	1		1		Подставляя
х: ..JL= п-,			у'= уп-.
у	х		х

х,

счи- сюда

значение

y=xn,

окончательно

получаем

у'

=пхn-

1

•

Легко

показать,

что	эта формула			верна и для х	< О,
	Теор ем	а	2.	Производная		от
ах lna, т. е.				если у= ах,		то

если только xn	имеет смысл*).
функции ах,	где а > О,	равна
у'= ах ln а.		(XIV)

Д о

чим ln

к аз а т

у= х ln

ель ст в о. Логарифмируя равенство у= ах, полу­

а. Дифференцируем полученное равенство, считая у

функцией

от

х:

.!.. у

у'

=

ln

а,

у'=

у

ln

а

или

у'

=

ах

ln

а.

	*)	Эта формула была	ранее	доказана		(§ 5)	для
целым		по.110:нсите.11ьным числом.		Теnерь	формула			(1)
(для	любого постоянного		числа	п).

случая, когда п является

доказана в общем случае

§

13)

ОБРАТНАЯ:

ФУНIЩИЯ:

И

ЕЕ

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ

85

лог ар и ф м а дан дифференцировании

н ой	фу	н к ц и и, широко применяется			при
функций.		Применение	этого приема	нередко

значительно

упрощает

вычисления.

П

р

и

м ер

4.

Требуется

найти

производную

	(х+1)	2	vх-Т
У	(х+4)			3	ех

от

функции

Реше

ни

е.

Логарифмируя,

находим

lny=2

ln(x+l)+

1 2

ln(x-1)-31n(x+4)-x.

Дифференцируем

обе части

у'_ 2 у-х+

последнего
+		1
1	2	(х-1)

равенства:

3	l
х+4	•

Умножая на

у

и подставляя

(x+l)2Vx-l

вместо у, получаем

(х+

4

)3 ех

у'

(x+1)

Vx-l [-2-

1

_з__ 1]

2

3

ех

х+1+2(х-1)

х+4

•

(х+4)

3

амеч

а ние. Выражение

у' = (ln у)'.

являющееся

У

ной

по х от

натурального

логарифма данной функции

называется

.

логарифмической производной

производ­ у=у (х),

§

13.

Обратная

функция

и

ее

дифференцирование

Пусть

дана

возрастающая (рис. 66) y=f(x),

или

убывающая

функция. (1)

определенная	на некотором интервале			(а, Ь)	(а< Ь)
Пусть f (а)=	с,	f (Ь) = d. Для	определенности			будем
рассматривать		возрастающую	функ-			J/

(см. § 6 гл. 1). в дальнейшем

цию.

Рассмотрим

два

различных

значе­

ния

х

1

и

х

2

,

принадлежащих

интер­

валу щей

< Х11

< у2

(а, Ь). Из определения	возрастаю­
функции следует, что	если	х1	<
И Y1=f(X1), Y2=f (х2), то		У1	<
• Следовательно, двум различным

значениям различных

Xi и х2 соответствуют			два
				и
значения	функции	у1

Рис.

66.

у	2	• Справедливо			и	обратное,			т.
если У1 <			У2,	У1	= f (х1),		а	у2	=
растающей			функции			следует,		что

е.
f (х2),
х	1	<

то			из определения воз­
х	•	Таким образом, между
2

значениями

х

и

соответствующими

им

значениями

у

устанавли­

вается

взаимно

однозначное

соответствие.

88

ПРОИЗВОДНАЯ:

И

ДИФФЕРЕНЦИАЛ

[ГЛ.

111

Так

как

функция

(J)

(у)

непрерывна,

то

Лх-0

при

Лу

-

О.

Пе­

реходя к

пределу

при

Лу-0

в

обеих

частях

равенства

(3),

получим

,	1
Ух=-,
	Ху

ИЛИ

f'

(Х)

	1
=-,-()'
lj)	у

т.

е. 3

получили формулу

а меч ан и е. Если

(XVI). пользоваться

теоремой

о

дифференциро­

вании сложной функции, Дифференцируем обе

то формулу (XVI) части равенства (2)

можно получить так. по х, считая у функ-

циеиu

от

х.

п

олучим

1

=(J)

'()' у Ух,

откуда

Ух, =

IP'

1(у)'

Полученный
ски.	Рассмотрим
!I	•
	Y=f~
д1----+:.~

результат наглядно иллюстрируется геометриче­
график функции у= f (х) (рис. 70). Эта			же кривая
будет графиком функции	X=(J)	(у),	где х pac-
сматривается уже как функция,		а у-как не-
зависимая переменная.	Рассмотрим некото­

ь

JJ

рую точку М (х, у) этой кривой. Обозначим
углы, образованные данной касательной				с по-
ложительными	направлениями	осей Ох		и Оу,
соответс:rвенно	через а и ~-	На	основании
результатов §	3, о геометрическом		значении
производной имеем

f'

(х)

=

tg

а,

с:р'

(у)=

tg

~-

(4)

Рис.

70.

Из

рис.

70

следует,

что

если

а

<

~

,

то

~=

п 2

-а.

Если

же

а>

п 2

,

то,

как

легко

видеть,

~=

~ 2

-а.

Следовательно, =tgactga=l

в любом случае			tg ~=ctg а,	откуда tg а tg ~=
или	1	Подставляя выражения для tga
	tga=tg~.

и

tg

~

из

формулы

(4),

получаем

f'

(х)

=

IP'

\и>.

§

14.

Обратные и их

тригонометрические дифференцирование

функции

1) Функция Рассмотрим

y=arcsin х. функцию

x=siny

(1)

и построим	ее график, напротив ось Оу вертикально вверх (рис. 71).
Эта функция определена в бесконечном интервале -оо < у < +оо.
На отрезке	-n/2~y~n/2 функция х=sinу-возрастающая, ее

значения

заполняют

отрезок

-1

~

х~

1.

Поэтому функцня