1 . Мощность мн-ва. Счётность мн-ва рациональных чисел. Несчётность мн-ва дей-х чисел.

О: Если для мн-в А и В имеет место случай 1), то ; 2) - ; 3) - (где 1) А~В₁, где В₁ В, но В не экв. никакому подмн-ву мн-ва А; 2) В~А₁, где А₁ А, но А не экв. никакому подмн-ву мн-ва В; 3) А~В₁, где В₁ В и В~А₁, где А₁ А)

Опр. распр-ся на конечные и ∞ мн-ва

О: Всякое мн-во, ~-ное мн-ву N, наз-ся счётным.

О: Мн-во наз-ся счётным, если его элементы можно пронумеровать натур. индексами, т. е. расположить в виде ∞-ной { }-сти m₁, m₂, …,m_n,…

Мощность счётного мн-ва наз-ся счётной мощностью и обозн-ся ч/з a.

Т1. ∞-ное мн-во точек с натур-ми координатами прост-ва счётно.

Т2.Объединение счётного мн-ва счетных мн-в есть счётное мн-во.

Т3.Мн-во всех рац-ых чисел счётно.

Д-во. Всякое рац-ое число представляется в виде p/q, где p,q . Рассмотрим «+»-ые дроби p/q, где p,q . Мн-во таких дробей ~-но мн-ву элементов вида a_p,q с натур. индексами, которое счётно. Мн-во Q всех рац. чисел как сумма «+»-ных и «-»-ных дробей и числа 0 счетно как объединение конечного и счётного мн-ва. Ч.Т.Д.

Т4. Мн-во действ-ых чисел х, удовл-ющих неравенствам 0х1 несчетно.

Д-во. Пусть мн-во точек сегмента [0,1] счетно. Тогда все эти точки (числа) можно расположить в виде {}-сти x₁, x₂,…, x_n,… (1)

Разделим [0,1] = Δ на 3 =ые части точками 1/3 и 2/3. Выберем из них ту часть, к-ая не x₁ . Обозн-м ее ч/з Δ₁ и снова разделим на 3 =-ые части и обозн-м ч/з Δ₂ ту, к-ая не х₂.

Продолжая этот процесс неограни-ченно, получим { }-сть вложенных сегментов Δ Δ₁ … Δ_n …, причем Δ_n не х_n, . Длина Δ_n = 1/3ⁿ и при . По принципу влож-х сегментов точка С, -ая всем сегментам {Δ_n}.Точка С и [0,1]. С другой стороны, точка С не может в (1), т.к. если бы она в ней, то по построению {Δ_n} она не входила бы хотя бы в один из сегментов Δ_n. Противоречие.

О: Мн-во, ~-ное мн-ву действ-ных чисел, -щих [0,1], наз-ся мн-вом мощности континуума. Мощность континуума обозначают через С.

Т5: Всякий сегмент, интервал, полуинтервал яв-ся мн-вом мощности континуума.

Д-во: Достаточно показать, что сегмент [a;b] ~[0;1], т.к. удаление 1 или 2 точек не меняет мощности мн-ва. Пусть y [a;b], х [0,1], тогда ф-ция y=(b-a)x+a устанавливает взаимно однозначное соот-вие м/у [a;b] и [0;1].

2. Предел и непрерывность функций в точке. Св-ва непрерывных функций на отрезке.

О: Точка x наз-ся предельной точкой мн-ва М, если в окрестности точки х хотя бы одна точка мн-ва М, отличная от х.

Пусть ф-ция у = f(x) определена на интервале (а,b) всюду, кроме, быть может, точки х_о (а,b). Ясно, что х_о - предельная точка для (а,b).

Опр-е. Число А наз-ся пределом ф-ции f(x) в точке х_о, если для {х_n} такой, что х_n (а,b), вып-ся условие

Если такое число А существует, то говорят, что функция y=f(x) имеет предел в точке х_о и пишут или при .

О. (по Коши). Число А наз-ся пределом ф-ции f(x) в точке х₀ , если для всякого наперед заданного как угодно малого >0 такое число >0, зависящая только от  и такое что ,удов-щих условиям вып-ся неравенство .

О. Ф-ция f(x), определенная на (а,b), наз-ся непрерывной в точке х₀ (а,b), если предел ф-ции в точке х₀ равен значению ф-ции в этой точке, т.е. .

Т. (Вейерштрасса). Всякая непрерывная на отрезке ф-ция имеет на этом отрезке как наибольшее, так и наименьшее значение.

Д-во. Пусть f(x) непрерывна на [а,b], тогда он ограничена на [а,b]. Т.е. мн-во значений ф-ции ограничено сверху. Пусть , где M-const. Покажем, что такое, что f(x₁)=M.

Допустим противное, т.е. , .

Рассмотрим ф-цию . Она непрерывна на [a;b] (нет деления на 0) и => ограничена на [a;b].

По опред. верх. грани для , такое что , тогда . Отсюда видим, что за счет выбора м/б сделана как угодно большой, т.е. не ограничена на [a;b]. Противоречие. Значит сущ-ет хотя бы 1 точка ,в которой f(x₁)=M.

Пусть , тогда т.к. f(x) – непрерывна на [a;b], то , такое что –f(x₂)=-m, т.е. f(x₂)=m. ЧТД