- •1 . Мощность мн-ва. Счётность мн-ва рациональных чисел. Несчётность мн-ва дей-х чисел.
- •2. Предел и непрерывность функций в точке. Св-ва непрерывных функций на отрезке.
- •3 . Предел числовой послед-ности. Теорема Больцано.
- •4. Определение и существование степени с иррациональным показателем.
- •5. Степенная функция с иррациональным показателем. Степень в комплексной области.
- •7. Разложение функций sin X и cos X в степенной ряд. Синус и косинус в комплексной области
- •8. Дифференцируемые функции. Правила дифференцирования
- •9 . Теорема Лагранжа. Условия монотонности и выпуклости функции на промежутке
- •1 0. Экстремумы и точки перегиба
- •12. Опред-ный интеграл. Интегри-руемость непрерывной функции. Формула Ньютона-Лейбниц
- •-Ние первообразной. Формула Ньютона-Лейбница (н.-л.)
- •14. Вычисление s в декартовых и полярных координатах,
- •1 6. Числовые ряды. Признаки сходимости: Даламбера и Коши.
- •17. Абсолютно и условно сх-ся ряды.
- •18.Функциональные послед-ти и ряды.
- •1 9. Степ-ые ряды в компл. Области.
- •20. Формула и ряд Тейлора.
- •2 1. Метрические пространства. Полные метрич. Пр-тва
- •2 3. О.Д.У. Первого порядка. Ур-я с разд-ся пер-ми. Линейные д.У.
- •2 4. Линейные д.У. С пост-ми к-нтами
- •25. Производная ф-ции компл.Пер. Условия диф-ти. Понятие аналитич. Ф-ции
2 1. Метрические пространства. Полные метрич. Пр-тва
О1. Мн-во М наз-ся метрическим пространством если каждой паре его элементов х и у поставлено в соответствие неотр. число (х,у), удов-щее след. условиям (аксиомам):
(x,y)=0x=y–акс. тождест-сти;
(акс. симметрии): (х,у) = (у,х),
(акс. треугольника):
(х,у)≤(x,z)+ (z,y) .
Это акс. метрики. Число (х,у) наз-ся расстоянием.
Пр1: мн-во действ. чисел R образует метр. прост-во с (х,у)=|x-y|, (х,у)≥0.
(х,у)=|x-y|=0 x-y=0 x=y
(х,у)=|x-y|=|y-x|=(у,x)
(х,у)=|x-y|=|(x-z)+(z-y)|≤ |=|x-z|+|z-y|=|= (x,z)+ (z,y)
Пр2: Мн-во непрерыв. ф-ций опред-х на отрезке [a;b] образует метр. пр-во С[a;b] с расстоянием (х,у)=
Акс. 1 и 2 – очевидны. Акс. 3:
О2. Послед-сть {хп} точек метр.пр-ва Х наз-ся фундаментальной, если она удовл-яет критерию Коши, т.е. для любого >0 сущ-ет N=N( ) такое, что при всех п>N и m>N вып-ся нер-во (хп,хm)< .
Всякая сходящаяся { }-сть яв-ся фунд-ной. Обратное имеет место не всегда.
О3. Если метр-е пр-тво Х таково, что в нем всякая { }-cть сх-ся, то это прост-во наз-ся полным.
Пр3: X=R – есть полное метр. пр-во, т.к. для любого мн-ва действ. чисел справедлив критерий Коши, согласно к-му -ая фунд-ная { }-сть R-чисел яв-ся сходящейся.
Пр4: С[a;b] - яв-ся полным метр. пр-вом.
2 2. Пр-цип сжимающих отобр-ний
О1. Говорят, что отображение А:М→М имеет неподвижную точку х0, если Ах0= х0.
О2. Отобр-ние f метр-го пр-тва Х в себя наз-ся сжимающим, если 0<α<1 такое, что x, yX вып-ся нерав-во (f(х),f(у))≤ α(х,y) (1).
Всякое сжимающее отобр-ние яв-ся непрерывным. Дейст-но, если хп→х, т.е. (хn,n→0,то (1)=>(f(хn),f(x)))→0=>f(хn) →f(x)
Т(Банаха)(пр-п сжим. отоб-ний). Всякое сжимающее отобр-ние, опред-ное в полном метр. прост-ве Х имеет 1-у и только 1-у не-подвижную точку (т.е. f(x)=x им. единст. реш-е).
Д. Пусть х0 Х.. Положим , , …, ,…. Получаем посл-ть точек метр. прост-ва Х. Покажем, что { }-сть яв-ся фундаментальной. Пусть m≥n
(2).
Т.к. α : 0<α<1=>полученное выраж-е при достаточно большом n будет →0 =>(хn, хm)→0 и { }-cть фундаментальна. По условию, Х- полно => {xn} – сх-ся. xn→х, n→∞ . Т.к. f-непрерывно, то => . Т.о. док-но неподвижность точки. Осталось док-ть ее ед-ть. Пусть и . Т.к. отображениесжимащее=> => => (т.к. ) .
Пр-п сжим-х отбр-ий широко исп-ся при док-ве теорем сущ-ния и единст-сти, решений различных ур-ний.
Продемонстрируем применение при док-ве след.теоремы: Если в диф.у-нии. (3) ф-ция f(x,y) удовл-ет условиям: 1) f(x,y) непрерывна в некот. прямоуг-ке Р:
х0-а≤х≤ х0+а; у0-b≤y≤ у0+b,
2) f(x,y) удовл-ет усл-ию Липшица по у,
то единст. решение диф. ур. (3) с нач-ми усл-ми , опред-ное и непрерывное на некот. сегменте
[х0-h; х0+h].
Д-во: Считая у ф-цией от х, проинтегр-ем обе части (3) от х0 до х. Т.к. , то и получаем (4). Если (4) продиф-ть по х, то получим (3), при этом из (4) при х=х0 получаем у=у0.Т.ч.(3) с нач. условиями и (4)-равносильны.
Т.к. f(x,y) непрерывна в замкн. области Р, то постоянная М>0 такая, что |f(x,y)|<M. Кроме того , . Пусть h – любая «+»-ная const, т.ч.
Рассм-м метр. пр-во С непрерыв. ф-ций, заданных на [х0-h; х0+h]. Пусть -подмн-во прост-ва С, состоящее из всех ф-ций y=y(x), для к-ых у0-b≤y≤ у0+b, при всех х [х0-h; х0+h]. В С мн-во замкнуто. Но -полное метр. пр-во, как замкнутое подпр-во полного метр. пр-ва С.
Рассм-м отображение х [х0-h; х0+h]. Оно переводит в себя. Действ-во, пусть . , т.е. . Отоб-ние А яв-ся сжимающим в . Имеем
где α=Lh<1. Итак,
По принципу сжим. отоб-ний ур-ние у=А(у), т.е. (4) имеет 1 и только 1 решение в пр-ве . ЧТД.