- •1 . Мощность мн-ва. Счётность мн-ва рациональных чисел. Несчётность мн-ва дей-х чисел.
- •2. Предел и непрерывность функций в точке. Св-ва непрерывных функций на отрезке.
- •3 . Предел числовой послед-ности. Теорема Больцано.
- •4. Определение и существование степени с иррациональным показателем.
- •5. Степенная функция с иррациональным показателем. Степень в комплексной области.
- •7. Разложение функций sin X и cos X в степенной ряд. Синус и косинус в комплексной области
- •8. Дифференцируемые функции. Правила дифференцирования
- •9 . Теорема Лагранжа. Условия монотонности и выпуклости функции на промежутке
- •1 0. Экстремумы и точки перегиба
- •12. Опред-ный интеграл. Интегри-руемость непрерывной функции. Формула Ньютона-Лейбниц
- •-Ние первообразной. Формула Ньютона-Лейбница (н.-л.)
- •14. Вычисление s в декартовых и полярных координатах,
- •1 6. Числовые ряды. Признаки сходимости: Даламбера и Коши.
- •17. Абсолютно и условно сх-ся ряды.
- •18.Функциональные послед-ти и ряды.
- •1 9. Степ-ые ряды в компл. Области.
- •20. Формула и ряд Тейлора.
- •2 1. Метрические пространства. Полные метрич. Пр-тва
- •2 3. О.Д.У. Первого порядка. Ур-я с разд-ся пер-ми. Линейные д.У.
- •2 4. Линейные д.У. С пост-ми к-нтами
- •25. Производная ф-ции компл.Пер. Условия диф-ти. Понятие аналитич. Ф-ции
9 . Теорема Лагранжа. Условия монотонности и выпуклости функции на промежутке
Т. 1. (Лагранжа). Если ф-ция f(x) непрерывна на [a, b] и имеет про-изводную на интервале (a, b), то сущ-ет по крайней мере 1 точка с(a, b), для которой вып-ся равенство (1).
Д. Положим , где число λ выберем так, чтобы было . Тогда , , .
Ф-ция удовлетворяет на [a, b] теореме Ролля:
непрерывна на [a, b];
дифференцируема на (a, b), .
.
По т.Ролля с (a, b), что , т. е. или . Ч. т. д.
Т.2.(дост. условие возр. и убыв.) Пусть ф-ция f(x) определена и диффер-ма на (a, b). Тогда если ( ) на (a, b), то f(x) монотонно возрастает (убывает).
Д. Пусть . По теореме Лагранжа , . Т. к. , то Замеч.1: Условие f”(x)>0 яв-ся дост. условием возрастания ф-ции, но не яв-ся необх-мым.
Замеч.2:Пусть f(x) непрерывна на некот. пром-ке Р и пусть f”(x)>0 всюду на Р, кроме конечнего числа точек, в к-ой f”(x)=0
Эти точки разбивают Р на конечное число частей, на каждом из к-ых ф-ция монотонно возрастает. Тогда в силу непрерыв-ти ф-ций f(x) она мо-нотонно возр-ет на всем пром-ке Р.
О1. Ф-ция f(x) наз-ся выпуклой вверх (выпуклой вниз) на (a, b), если для любой точки х0 (a, b) выполняется неравенство , .
Т. 3. Пусть ф-ция f(x) определена и дважды дифференц-ма на (a, b). Тогда если ( ) на (a, b), то f(x) строго выпукла (строго вогнута) на (a, b).
1 0. Экстремумы и точки перегиба
О1. Ф-ция f(x) в точке с имеет max (минимум), если сущ-ет окрестность этой точки, во всех точках х ≠ с которой вып-ся неравенство .
Max и min не обяз-но яв-ся наиб. и наим. значениями ф-ции на всей D(f), оно яв-ся таковым лишь в некот. окрестности точки с, поэтому их наз-ют локальными или местными макс. и мин-ми. понятие макс. и мин. объед-ют под названием экстремум.
Т.1. (необх. условие экстремума). Если ф-ция f(x), опред-ная в некот. окрест. точки с, имеет экстремум в т. с, то либо =0, либо не сущ-ет.
Д. Пусть f(x) определена в некот. окрест. т. с и имеет в ней экстремум. Тогда сущ-ет окрестность (с - , с + ), для к-ой f(с) яв-ся наиб. или наим. значением. По теореме Ферма если , то . Т. о. либо , либо не . Ч.т.д.
Т. о. экстр-мы нужно искать только среди тех точек, в к-ых , либо не сущ-ет. Такие т. наз-ся крити-ческими. Те крит-ие точки, в к-ых в точности =0 наз-ся стационарными.
Не всякая критич. тчк яв-ся тчкой экстремума.
Т. 2. (дост. условие mах и min). Пусть ф-ция f(x) диф-ма в некот. окрест. точки за исключением, б. м., самой т. с, в к-ой f(x) непрерывна. Если при переходе х через с меняет знак, то f(x) в точке с имеет экстре-мум. Если меняет знак с + на -, то в точке с – max, а если с - на + – min.
Д. Пусть меняет знак с + на -. Тогда f(x) возрастает на (с - , с) и убывает на(с, с + ). Пусть х (с - , с + ). По теореме Лагранжа , точка лежит между с и х. Если х < c, тогда
х-с<0, и . Если х>c, то и .
В обоих случаях , т. е. в точке с – max. Случай, когда меняет знак с - на + аналог-но. Ч.т.д.
О2. Т. x0 наз-ся точкой перегиба ф-ции f(x), если она яв-ся общим концом интервале строгой выпуклости и интервала строгой вогнутости. Точка (x0, f(x0)) наз-ся точкой перегиба графика функции f(x).
Пусть ф-ция f(x) дважды непрерывно диф-ма в некот. окрест. точки с, кроме, б. м., самой точки с.
Т3. (необ. условие точки перегиба). Если т. с яв-ся т. перегиба ф-ции у = f(x), то либо =0 или не сущ-ет.
Д. Пусть . Тогда х из некот. окрест. с
(с-, с+), т. е. f(x) вогнута в этой ок-рестности, что противоречит условию теоремы. Если , то f(x) строго выпукла в некот. окрест. т. с, снова противоречие. Значит либо =0, либо не .Ч. т. д.
Т.о. тчку перегиба нужно искать среди тех точек, в к-ых 2-ая производная =0 или не сущ-ет. Однако не всякая такая точка яв-ся точкой перегиба.
Т. 4. (дост. условие точки перегиба). Пусть f(x) определена и непрерывна в некот. окрест. точки с и имеет в этой окрест. по кр-ей мере при х ≠ с. Если при переходе х через с меняет знак, то с – точка перегиба.
Д. Пусть меняет знак с + на -. Тогда ф-ция вогнута слева и выпукла справа от точки с, т. е. с – точка перегиба. Другой случай аналогичен. Ч. т. д.