- •1 . Мощность мн-ва. Счётность мн-ва рациональных чисел. Несчётность мн-ва дей-х чисел.
- •2. Предел и непрерывность функций в точке. Св-ва непрерывных функций на отрезке.
- •3 . Предел числовой послед-ности. Теорема Больцано.
- •4. Определение и существование степени с иррациональным показателем.
- •5. Степенная функция с иррациональным показателем. Степень в комплексной области.
- •7. Разложение функций sin X и cos X в степенной ряд. Синус и косинус в комплексной области
- •8. Дифференцируемые функции. Правила дифференцирования
- •9 . Теорема Лагранжа. Условия монотонности и выпуклости функции на промежутке
- •1 0. Экстремумы и точки перегиба
- •12. Опред-ный интеграл. Интегри-руемость непрерывной функции. Формула Ньютона-Лейбниц
- •-Ние первообразной. Формула Ньютона-Лейбница (н.-л.)
- •14. Вычисление s в декартовых и полярных координатах,
- •1 6. Числовые ряды. Признаки сходимости: Даламбера и Коши.
- •17. Абсолютно и условно сх-ся ряды.
- •18.Функциональные послед-ти и ряды.
- •1 9. Степ-ые ряды в компл. Области.
- •20. Формула и ряд Тейлора.
- •2 1. Метрические пространства. Полные метрич. Пр-тва
- •2 3. О.Д.У. Первого порядка. Ур-я с разд-ся пер-ми. Линейные д.У.
- •2 4. Линейные д.У. С пост-ми к-нтами
- •25. Производная ф-ции компл.Пер. Условия диф-ти. Понятие аналитич. Ф-ции
3 . Предел числовой послед-ности. Теорема Больцано.
Опр-е. Число А наз-ся пределом послед-сти {хn}, если номер N, зависящий только от ε, такой, что для всех n>N, удовлетворяют нер-ву . Пишут .
Число N зависит только от ε и потому пишут N (ε) или . Нер-во равносильно
А-ε<хn<А+ε. Значит, если А - предел послед-сти {хn}, то все ее члены с номерами n > N лежат ε -окрестности точки А. Члены с номерами n≤N могут находиться где угодно, но начиная с ХN+1 все они находятся в (А- ε,А+ ε). Так, что вне этого интервала наход-ся только конечное число членов.
{}-сть, имеющая предел, наз-ся сходящейся. {}-сть, не явл-ся сходящейся, наз-ся расходящейся.
Т. (Больцано - Вейерштрасса). Из любой ограниченной {}-сти можно выделить сходящуюся под{}-сть.
Д-во. Пусть {хn} ограничена т.е. . Разделим [а,b] пополам. По крайне мере одна из половин содержит ∞-ное мн-во элементов из {хn}. Эту половину обозначим через [а1,b1]. Пусть - какой - нибудь член {}-сти, лежащий в [а1,b1]. Разделим [а1,b1] опять пополам, Снова хотя бы одна из половин содержит ∞-ное мн-во членов из {хn}. Обозначим ее через [а2,b2]. Выберем точку и т.д.
Получим {}-сть сегментов [ак,bк] и {}-сть точек {}-сти {хn}, к=1,2,... {}-сть пo построению является подпослед-стью {}-сти {хn}.
Сегменты [ак,bк] (к=1,2,...) образуют систему влож-х отрезков, причем . По принципу влож-х отрезков -ет единственная точка с, -щая всем отрезкам, , . По построению, . По теореме о пределе промежуточной переменной .ЧТД
Теорему можно сформул-вать иначе: всякая ограниченная {}-сть имеет по крайне мере 1 частичный lim.
4. Определение и существование степени с иррациональным показателем.
Сначала докажем некот. св-ва степени с рац-ым показателем , r-рац-ное число.
Л1. Если а>1, то
Л2. Если а>1 и - рац-ные числа, то .
Л3.
Л4. Пусть - произвольная {}-сть рац-х чисел, сходящаяся к 0; а>1 – любое действ-ное число. Тогда .
Пусть α - произвольное иррац-ное число. Всякое иррац-ное число яв-ся пределом некоторой {}-сти рац-х чисел .
Л5. Если а>0, α -иррац-ое число, то для всякой {}-сти рац-х чисел , сходящейся к α, сх-ся к одному и тому же пределу.
Д-во. 1). Пусть а>1. Сначала возьмём неубывающую {}-сть рац. чисел
По Л2 Т.к. сх-ся, то она ограничена сверху. Пусть . Снова по лемме 2 , т.е. ограничена сверху и потому она имеет предел .
Пусть теперь { }-сть рац-х чисел произвольна и . Рассм-м .
Т.к. , то по Л4. . Тогда , т.е. .
2). Если 0<a<1, то . Только что показано, что любая послед-сть , где имеет один и тот же предел: . Тогда . Лемма доказана.
Опр-е. За значение степени с иррац-м показате-лем α принимает предел, к к-му сх-ся , где - любая {}-сть рац-х чисел, сходящаяся к α.
Степень с иррац-ным показателем обладает свойствами:
; . Действит-но, пусть . Тогда