5. Степенная функция с иррациональным показателем. Степень в комплексной области.

Р ассм-м степенную ф-цию у = , где α- иррац-ное число.

Т.к. допустимы лишь x>0, то можно записать .

Ф-ция у = яв-ся сложной, где .

Свойства:

1.

2. Монотонно возрастает в D(у) при α>0 и убывает при α <0.

Д-во. Пусть α>0 => и . Т.е. => =>y₁<y₂ - монотонно возрастает. При α<0 аналогично (монотонно убывает).

3. Непрерывна в D(f) по теореме о непрерывности сложной функции.

4.

Д-во. Пусть α>0, тогда при , ; . При α<0 ; .

5.

Д-во. Пусть α>0 , , . Если α <0 .

Степень в комплексной области.

Пусть а≠0 – любое комп. число. При целом n , . Получаем одно значение степени.

Пусть r=p/q – несокр.дробь, т.е. r – рацион. число.

Имеем , k=0, 1,…,q-1

Имеем q значений степени. Запишем иначе:

для примера:

Для любых компл-х а и α по опред-ию полагают: (1) – формула универсальна.

Степень с произв. показателем не подчиняется известным законам умножения и возведения в степень

,

6. Сущ-е лог-ов. Лог-ая ф-ия. Лог-м в компл-ой области

О1. Логарифмом числа b по основанию а (а > 0, a ≠ 1) наз-ся показатель степени, в которую нужно возвести а, чтобы получить b. Пишут .

(1) - основное логар-ое тождество. Возведем его обе части в степень : . Отсюда

(2)

Т1. Для  дейст-го числа b>0   логарифм при  основании а >0, a≠1.

Д. Пусть а > 0, b > 0. Рассм-м ф-цию y=a^x. Т. к. , , то, по теореме о промежуточном значении непрерывной ф-ции, ф-ция у = а^х принимает  «+»-ное значение. В силу монотонности ф-ции  значение принимается один раз. След-но, для любого b   число х, такое что , где x=log_ab.

Случай 0 < a < 1 аналогичен. .

Пусть теперь с > 0, с ≠ 1. согласно (1). Прологарифмируем по основанию а. согласно (2). Отсюда (3). Положив в (3) х=а, находим .

Рассм-м y = f(x) = log_ax ( a > 0, a  1). Она обратна по отношению к функции у = а^х.

1. D(y) = (0, +).

2. log_a1 = 0, log_aa = 1

3. Если а>1, то если 0 <a <1, то

Д. Пусть а > 1. Тогда . Получили доказуемое в обратном порядке. Случай 0<a<1 аналогичен.

4. y = log_ax непрерывна в D(y) как обратная к непрерывной и монотонной функции y = а^x.

5. При а > 1 монотонно возрастает на (0, +); при 0<a<1 монотонно убывает как обратная ф-ция к y = а^x.

6. 

Д. Пусть а>1. В при х+ будет log_ax+ согласно св-ву ф-ции y = а^x. При 0<a<1=> log_ax- .

7. 

Д. Пусть а > 1. В при х+0 будет log_ax-. При 0 < a < 1 отсюда же log_ax+ .

8. , (х₁ > 0, x₂ > 0).

Д. , . и далее по определению логарифма.

9. ,

(х₁ > 0, x₂ > 0).

10. , (х>0,  R).

Число w наз-ся логарифмом числа z, если expw = z. Пишут w = Lnz.

Св-ва логарифмов:

1. ,(z₁≠0,z₂≠0)

2. , (z₁≠0, z₂ ≠ 0)

3. ,(z_k≠0,k)

4. 

Для главных значений логарифмов (ln) не вып-ся даже св-ва 1 и 2, т. к. мнимая часть левой и правой частей должна лежать в (-π, π].