- •1 . Мощность мн-ва. Счётность мн-ва рациональных чисел. Несчётность мн-ва дей-х чисел.
- •2. Предел и непрерывность функций в точке. Св-ва непрерывных функций на отрезке.
- •3 . Предел числовой послед-ности. Теорема Больцано.
- •4. Определение и существование степени с иррациональным показателем.
- •5. Степенная функция с иррациональным показателем. Степень в комплексной области.
- •7. Разложение функций sin X и cos X в степенной ряд. Синус и косинус в комплексной области
- •8. Дифференцируемые функции. Правила дифференцирования
- •9 . Теорема Лагранжа. Условия монотонности и выпуклости функции на промежутке
- •1 0. Экстремумы и точки перегиба
- •12. Опред-ный интеграл. Интегри-руемость непрерывной функции. Формула Ньютона-Лейбниц
- •-Ние первообразной. Формула Ньютона-Лейбница (н.-л.)
- •14. Вычисление s в декартовых и полярных координатах,
- •1 6. Числовые ряды. Признаки сходимости: Даламбера и Коши.
- •17. Абсолютно и условно сх-ся ряды.
- •18.Функциональные послед-ти и ряды.
- •1 9. Степ-ые ряды в компл. Области.
- •20. Формула и ряд Тейлора.
- •2 1. Метрические пространства. Полные метрич. Пр-тва
- •2 3. О.Д.У. Первого порядка. Ур-я с разд-ся пер-ми. Линейные д.У.
- •2 4. Линейные д.У. С пост-ми к-нтами
- •25. Производная ф-ции компл.Пер. Условия диф-ти. Понятие аналитич. Ф-ции
18.Функциональные послед-ти и ряды.
] дана ∞-ная посл-ть ф-ций f1(x),f2(x),…,fn(x),…(1) на нек-м мн-ве М.
О1: Если для конкретного x0 M получим сх-ся числ-ю { }-сть (fn(x0)), то говорят, что функ-ая { }-сть (1) сх-ся в т. x0 или что x0 – точка сх-сти { }-сти (1). Если получаем рассх-ся числ-ю { }-сть (fn(x0)), то x0 – точка рассх-сти
О2: Если конеч-й предел то этот предел яв-ся некот. ф-цией от х, к-рый обозначим ч/з f(x) и назовем предель-ной ф-цией, т.е. .
Предельная ф-ция f(x) опред-на на мн-ве Р. Ан-но рассм-ся ряды, члены к-го некот. ф-ции опред. на мн-ве М.
Ряд вида (2)- наз-ся функц-м.
О3:Если р. (2) сх-ся при x=x0 M, то т. x0 наз-ся т-й сх-ти р.(2). А мн-во всех т-к сх-ти р.(2) наз-ся обл-ю сх-ти функ-го р.(2) Если же р. (2) рассх-ся при x=x0 M, то т. x0 наз-ся т-й рассх-ти р.(2).
О4:Если {sn(x)} – послед-сть частич. сумм р.(2), тогда - пред-я ф-я для {sn(x)} и в тоже время S(x) - яв-ся суммой р.(2).
Пусть на М заданы f(x) и g(x).
О5: наз-ся расстоя-нием по Чебышеву м/у ф-циями f(x) и g(x) на М и обозначается , т.е. =
Пусть на М задана {fn(x)}, сходящаяся при пред. ф-ции f(x), т.е. .
Возьмем некот. x0 Р, тогда .
По опред. предела числ. { }-сти имеем , , т.ч. вып-ся нер-во
Если взять другое значение , то при том же ε номер N будет уже другим, т.е.N зависит не только от ε, но и от х.
О6: Функ-я посл-ть (fn(x)) н-ся равномерно сх-ся к f (x) на мн-ве Р, если , , т.ч. вып-ся сразу .
Учитывая О6, м. записать эквив. опред.
О6.1: Функ-я посл-ть (fn(x)) н-ся равномерно сх-ся к f (x) на мн-ве Р, если
Пишут .
О7:Функ-й р.(2) сх-йся к сумме S(x) н-ся равном-но сх-йся на мн-ве Р к S(x), если
Р ассм-м , где rn(x) – остаток. Т.о. функц.р. сх-ся на Р равномерно когда , .
Получили необх. и дост. признак равномерной сх-сти функц. ряда.
Т1: (пр-к Вейерштрасса). Если ,каждый член функ-го р.(2) по модулю не превышает соотв-го члена сх-ся числового р.(5) с полож-ми членами ( ), то функ-ый р.(2) на мн-ве Р сх-ся равномерно и абсол-но.(без д-ва)
1 9. Степ-ые ряды в компл. Области.
О1: Ряд вида (1) наз-ся степ-ым рядом. - постоян. комплекс. числа. Заменой z-a=w р. (1) сводится к р. (2), т.е. к ряду с центром в т. w =0.
Всякий степ. р. (1) сх-ся в центре ряда, т. е. в z=a. Возможны 3 случая:
1). (1) сх-ся только в центре ряда;
2). (1) сх-ся при конечных z;
3) при некот. z р.(1) сх-ся, при других рассх-ся.
Для любого степ. ряда, имеющего как точки сх-сти, так и точки рассх-сти, круг, внутри к-го ряд абс-но сх-ся, а вне - расх-ся. Этот круг наз-ся кругом сх-сти, а его радиус r – радиусом сх-сти. Если ряд сх-ся только в центре, то полагаем r=0; если сх-ся при всех z, то r=∞. На границе |z|=r ряд нужно исследовать дополн-но.
Вычисление радиуса сх-сти (1) сводится к отысканию радиуса абс. сх-сти ряда , к-ый яв-ся степ.рядом с действ. членами.
Т1: (Абеля). Если степ-й р.(3) сх-ся в т. z0≠0, то он сх-ся абсол-но при всех (в круге с центром в т. О радиуса ).
Д-во: По усл. числовой ряд (4) сх-ся и по необ-му приз-ку сх-ти . Значит сх-ся и, след-но, огран-на, т.е. такая, что справ-во <M. Оценим теперь общий член р.(3): (5)
Пусть число z фиксировано, причем |z|<|z0|. Тогда . Из (5) получаем при всех n. Это означает, что члены ряда не превосходят соот-щих членов сх-щейся геометр. прогрессии , т.е. ряд (1) сх-ся абсолютно.
Сл-е1:Если р.(3) расх-ся в т. z0, то он расх-ся при всех .
Дейст-но, если бы р.(3) сх-ся в к.- л. т.z при , то по Т. Абеля он сх-ся бы и в т. z0.
Сл-е 2: Для всякого степ.р. сущ-ет число R такое, что внутри круга |z-a|<R ряд сх-ся, а вне круга расх-ся.